интегралы - Проверить стремление интеграла к нулю

Предисловие:
По функциональному анализу задание: Проверить сходится ли последовательность $% \big\{x_{n}\big\}$% элементов пространства $%C[a, b]$% относительно каждой из метрик: $% \rho(x,y)=max|x(t)-y(t)|$%, $% \rho_{1}(x,y)= \int_a^b |x(t)-y(t)|dt$% В моем варианте $%C[1, 10]$%, $%x_{n}(t)= \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}$%
Сначала я нашел $%x_{0}=\lim_{n \rightarrow \infty} \big\{x_{n}\big\}$% чтобы проверить поточечную сходимость $%x_{0} =\begin{cases}1/2 & t=1\\t & |t|>1\end{cases}$% Разрыв - значит по (равномерной метрике) $% \rho$% не сходится. Рассмотрим по $% \rho_{1}$% (интегральной метрике). Доопределим до непрерывности $%x_{0}$% для этого положим $%x_{0}(1)=1$% Тоесть будет $%x_{0}(t)=t$% на всем отрезке $%[1, 10]$%. Теперь надо доказать что $%\rho_{1}(x_{0},x_{n})\rightarrow0$% при $%n\rightarrow\infty$% тоесть что $%\int_1^{10} t-\frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}dt\rightarrow0$% при $%n\rightarrow\infty$%. Есть (нас так учили по крайней мере) два варианта сделать это:
Помогите любое из этого желательно второй вариант:
1)Тупо вычислить интеграл получить некое выражение зависящее только от $%n$% и найти его предел при $%n\rightarrow\infty$%.. Но учитель сказал что это слишком сложно поэтому надо 2й вариант
2)Как-то аналитически доказать что интеграл стремится к 0. В классе нам показывали с помощью графика (позже сюда добавлю) но я не силен в матане и не понял и к тому же как так в моем случае сделать - не знаю. В общем показали что площадь заштрихованной области $%<2\varepsilon$% И следовательно интеграл стремится к 0.