Предисловие:
По функциональному анализу задание: Проверить сходится ли последовательность $% \big\{x_{n}\big\}$% элементов пространства $%C[a, b]$% относительно каждой из метрик: $% \rho(x,y)=max|x(t)-y(t)|$%, $% \rho_{1}(x,y)= \int_a^b |x(t)-y(t)|dt$% В моем варианте $%C[1, 10]$%, $%x_{n}(t)= \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}$%
Сначала я нашел $%x_{0}=\lim_{n \rightarrow \infty} \big\{x_{n}\big\}$% чтобы проверить поточечную сходимость $%x_{0} =\begin{cases}1/2 & t=1\\t & |t|>1\end{cases}$% Разрыв - значит по (равномерной метрике) $% \rho$% не сходится. Рассмотрим по $% \rho_{1}$% (интегральной метрике). Доопределим до непрерывности $%x_{0}$% для этого положим $%x_{0}(1)=1$% Тоесть будет $%x_{0}(t)=t$% на всем отрезке $%[1, 10]$%. Теперь надо доказать что $%\rho_{1}(x_{0},x_{n})\rightarrow0$% при $%n\rightarrow\infty$% тоесть что $%\int_1^{10} t-\frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}dt\rightarrow0$% при $%n\rightarrow\infty$%. Есть (нас так учили по крайней мере) два варианта сделать это:
Помогите любое из этого желательно второй вариант:
1)Тупо вычислить интеграл получить некое выражение зависящее только от $%n$% и найти его предел при $%n\rightarrow\infty$%.. Но учитель сказал что это слишком сложно поэтому надо 2й вариант
2)Как-то аналитически доказать что интеграл стремится к 0. В классе нам показывали с помощью графика (позже сюда добавлю) но я не силен в матане и не понял и к тому же как так в моем случае сделать - не знаю. В общем показали что площадь заштрихованной области $%<2\varepsilon$% И следовательно интеграл стремится к 0.

задан 17 Сен '17 20:09

изменен 17 Сен '17 21:45

Интеграл от t/(1+t^{n+1}); он меньше интеграла от t^{-n}, а последний меньше 1/(n-1).

(17 Сен '17 22:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если $%[a;b] = [0;2]$%, то получается сумма двух интегралов $$ \int\limits_{0}^{1} \left(0 - \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}\right)\;dt + \int_{1}^{2} \left(t - \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}\right)\;dt = I+J $$ В первом интеграле проинтегрируем по частям $$ I=-\int\limits_{0}^{1} \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}\;dt = -\frac{t^2\cdot\ln\Big(1+t^{n+1}\Big)}{n+1} + \int\limits_{0}^{1}\frac{2\cdot t\cdot\ln\Big(1+t^{n+1}\Big)}{n+1}\;dt $$ Внеинтегральное слагаемое равно нулю... получившийся интеграл имеет ограниченную подынтегральную функцию... а множитель $%\frac{1}{n+1}$% даёт стремление к нулю...

Во втором интеграле приводим к общему знаменателю и оцениваем $$ J = \int\limits_{1}^{2} \frac{t}{1+t^{n+1}}\;dt \le \int\limits_{1}^{2} \frac{t}{t^{n+1}}\;dt = \frac{t^{1-n}}{1-n} \le \frac{1}{n-1} \to 0 $$

Ну, как-то так...

ЗЫ: у внеинтегральных слагаемых пропущены границы... их не любит местный редактор...

ссылка

отвечен 17 Сен '17 21:29

@all_exist , а почему [0;2] ?? Мне же надо [1;10] ! И пожалуйста тогда оберните выражание на LaTeX которое с пределами в блок "код" (значек "{}" в верху текстового поля редактора) - я итак пойму как оно должно выглядеть зато увижу пределы

(17 Сен '17 21:34) Rules

@Rules, а почему [0;2] ?? - я немного обобщил... у Вас же на разных частях отрезка имеется поточечная сходимость к функциям с разными аналитическим выражениями...

Мне же надо [1;10] ! - рассматривайте только второй интеграл... и пишите вместо моей $%2$%-ки Вашу $%10$%-ку...

зато увижу пределы - это Вы про что?... пределы у интегралов стоят... у внеинтегральных слагаемых они такие же...

(17 Сен '17 21:54) all_exist

@all_exist, спасибо! Значит мне надо лишь начиная с "Во втором интеграле ..."

(17 Сен '17 22:09) Rules
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×743
×639
×183

задан
17 Сен '17 20:09

показан
515 раз

обновлен
17 Сен '17 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru