Каково ортогональное дополнение к множеству всех полиномов f с натуральными степенями (f(0)=0) в пространстве $%C_2[0;1]?$%

задан 17 Сен '17 23:17

а в $%C_2$% есть скалярное произведение?...

(17 Сен '17 23:19) all_exist

@all_exist: да. $%(x, y)= \int_a^b x(t) \overline{y(t)}dt.$%

(17 Сен '17 23:25) stander

@stander: такие полиномы равномерно приближают функции с условием f(0)=0. Тем более это верно в интегральной норме. А любая непрерывная функция в интегральной норме приближается функцией предыдущего вида (вблизи нуля график "срезаем" до нулевого значения).

(17 Сен '17 23:57) falcao

@falcao: простите, я так и не поняла, какой ответ. Я полагала, что это пустое множество, когда решала задачу.

(18 Сен '17 0:02) stander

@stander: пустого множества не бывает. Оно нулевое, то есть состоит только из тождественно нулевой функции.

(18 Сен '17 0:38) falcao

@falcao: да-да, я именно это имела в виду. Только 0. Неверно выразилась. Однако как это строго обосновать?

(18 Сен '17 1:20) stander
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если P(0)=0, то P(x)=xQ(x), где Q(x) - произвольный полином. Тогда (f, P)=(xf, Q). Значит, xf(x) ортогонально всевозможным полиномам и поэтому есть тождественный нуль. Следовательно, f обращается в нуль всюду, кроме, быть может, точки 0. Но если f - непрерывная функция, то она обращается в нуль и в нуле.

ссылка

отвечен 28 Окт '17 22:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×643

задан
17 Сен '17 23:17

показан
394 раза

обновлен
28 Окт '17 22:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru