Пусть $%K$% - компакт в $%R^n$% и пусть $%x\in R^n - K$%. Доказать, что $%\inf\{d(x,y): y\in K\}$% достигается для некоторой точки $%y\in K$%.

задан 18 Сен '17 19:27

d(x,y)-непрерывная по y функция, поэтому по т. Вейерштрасса достигает своего минимума на компакте в некоторой его точке.

(18 Сен '17 19:36) Амфибрахий

А если понятие непрерывности функции не предполагается известным?

(18 Сен '17 20:34) curl
1

Тогда нужно долго и нудно расспрашивать вас, что предполагается известным, а что - нет. Это не ко мне.

(18 Сен '17 20:55) Амфибрахий

Это упражнение на определение компактности. Известными предполагаются факты о компактности, метрические пространства, топология метрических пространств.

(18 Сен '17 21:58) curl

Задача по топологии, а непрерывность -- одно из основных понятий в этой теории.

(18 Сен '17 22:19) falcao

Я не спорю, но эта задача была дана до изучения непрерывности. Поэтому и интересуюсь, можно ли провести доказательство без понятия непрерывности.

(18 Сен '17 22:34) curl

Без непрерывности - нельзя.

(18 Сен '17 22:42) Амфибрахий

А как насчет второго абзаца в этом ответе? https://math.stackexchange.com/questions/83505/distance-to-a-closed-set/83733#83733

Только я не понимаю, почему E_n компактны и вложены...

(18 Сен '17 22:53) curl

@curl: критерий компактности в R^n таков: множество должно быть замкнутым и ограниченным. Ясно, что E_n обладают этим свойством. Что касается вложенности (по убыванию), то оно очевидно по причине того, что 1/(n+1) < 1/n.

Но вообще-то все эти "кустарные" рассуждения ни к чему, так как непрерывность расстояния очевидна, а образ компакта при непрерывном отображении есть компакт. На прямой это будет замкнутое ограниченное множество, и его inf существует и достигаетсяю

(18 Сен '17 23:10) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
18 Сен '17 19:27

показан
410 раз

обновлен
18 Сен '17 23:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru