Докажите что существует многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами, такой что f(0),f(1),...,f(n) - различные простые числа

задан 19 Сен '17 20:51

Это же очевидно практически, можно доказать, что многочлен n_ой степени может принимать какие угодно n значений.

(19 Сен '17 20:58) Williams Wol...

@abc, Может там есть ещё условие, что коэффициент при $%x^n$% равен единице?...

(19 Сен '17 21:05) all_exist

@Williams Wol... Во-первых не n а n+1, во-вторых дополнительное условие на целочисленность его коэффициентов @all_exist это задача со звездочкой, дополнительное условие что коэффициенты целые

(19 Сен '17 21:12) abc

@abc, не n а n+1 - кстати, да... про это я не подумал...

(19 Сен '17 21:21) all_exist

Да, я тоже не заметил

(19 Сен '17 21:25) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$%. Получаем систему уравнений $$p_i=\sum_{k=0}^na_ki^k,$$ $$p_i-p_0=\sum_{k=1}^na_ki^k.$$ Пускай $%D$% - определитель последней системы. Для того, чтобы решения системы были целыми, достаточно взять числа $%p_i$% из арифметической прогрессии $%p_0+D\cdot m$% (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

ссылка

отвечен 19 Сен '17 23:19

изменен 19 Сен '17 23:25

1

ну с такой мощной теоремой понятно, но её не было в пособии. Я думал там подразумевается ответ с возможностью полного доказательства, без отсылок к теореме Ферма и Дирихле. Или может быть хватит частного случая этой теоремы, который легко доказать...

(19 Сен '17 23:35) abc
3

Есть еще одна проблемка.. Например, т. Семереди говорит о том, что есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из простых. Если интерполировать такую прогрессию, то интерполяционный многочлен будет 1-й степени, и никак иначе, а требуется получить многочлен ровно n-й степени. Иными словами, как в решении отражено, что старший коэффициент многочлена будет ненулевым?

(19 Сен '17 23:40) Амфибрахий
1

@Амфибрахий: Да, пропустил. Для того, чтобы старший коэффициент многочлена будет ненулевым, достаточно выбрать $%p_n$% существенно бОльшим, чем все остальные $%p_i$%.

(19 Сен '17 23:49) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×415

задан
19 Сен '17 20:51

показан
410 раз

обновлен
19 Сен '17 23:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru