Докажите что уравнение (p/q)^2=2 не имеет решений среди целых p и q

задан 20 Сен '17 17:13

См. "доказательство иррациональности корня из 2".

(20 Сен '17 17:18) Амфибрахий

Загляните в школьный учебник :)

Это стандартнейшее рассуждение, которое у нас было в учебнике алгебры за 7-й класс. Оно столь известно, что повторять совсем не хочется. В двух словах: дробь полагаем несократимой, записываем уравнение как p^2=2q^2, и рассуждаем по поводу чётности/нечётности чисел.

Вопрос меня малость удивил, так как это на уровне "задачи" доказать теорему Пифагора. А вот обсудить разные способы доказательства очень даже можно и в том, и в другом случае.

(20 Сен '17 17:30) falcao

@falcao а какие здесь еще способы доказательства?

(20 Сен '17 21:10) abc
1

@abc: есть такое красивое доказательство. Пусть sqrt(2) рационален. Запишем его в виде p/q, где оба числа натуральные, и q -> min. Покажем, как уменьшить знаменатель. Ясно, что q < p < 2q. Вычтем 1, получая sqrt(2)-1=(p-q)/q. Перейдём к обратному: sqrt(2)+1=q/(p-q). Знаменатель стал меньше. Далее надо вычесть 1, что знаменатель не меняет.

А есть ещё рассуждение с уравнением x^2-2=0. Если есть рациональные корни, то они целые, так как старший коэффициент равен 1. Но целые числа не подходят => рациональных корней нет.

(20 Сен '17 21:44) falcao

@falcao аналогично для $%\sqrt{3}$% полагаем $%2-\sqrt{3}=\frac{p}{q}$% и получаем доказательство иррациональности. Можно ли все это перенести на общий случай иррациональности $%\sqrt{n}$% ?

Кстати как насчет такого доказательства: Докажем что равенство $%\sqrt{n}=\frac{p}{q}$% невозможно ни при каких n и q>1 // (p,q)=1 как всегда взаимнопростые

Доказательство: $%\sqrt{n}=\frac{p}{q} \Rightarrow n=\frac{p^2}{q^2} \Rightarrow \frac{p^2}{q^2} \in \mathbb{N}$% что невозможно ввиду (p,q)=1 и q>1

(22 Сен '17 2:14) abc

@abc: для sqrt(3) всё работает так же точно. Для sqrt(n) в общем случае тоже, но там надо подбирать сначала подходящее уравнение для "подправленного" числа. Что касается последнего, то это стандартное доказательство, но оно опирается на основную теорему арифметики. А в школе она полностью не доказывается, поэтому для школьного курса такое рассуждение не совсем подходит.

(22 Сен '17 4:05) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
20 Сен '17 17:13

показан
214 раз

обновлен
22 Сен '17 4:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru