Доказать, что у любой последовательности есть монотонная подпоследовательность

задан 21 Сен '17 21:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если последовательность не ограничена, то в ней есть подпоследовательность, которая стремится к $%+\infty,$% или к $%-\infty.$% Рассмотрим первый случай и обозначим эту подпоследовательность $%\{a_n\}, a_n\to +\infty.$% Тогда в ней есть бесконечно много членов, которые больше, чем $%a_1=a_{n_1}$% Возьмем любой из них и обозначим его номер как $%n_2,$% в подпоследовательности бесконечно много членов, которые больше, чем $%a_{n_2},$% выберем один из них с номером больше, чем $%n_2,$% обозначим его номер как $%n_3.$% Продолжая это построение, мы выделим монотонно возрастающую подпоследовательность. Второй случай разбирается аналогично.

Если же последовательность ограничена, то она содержит сходящуюся подпоследовательность, обозначим эту подпоследовательность $%\{a_n\}, a_n\to a.$% Если эта сходящаяся подпослед-сть принимает только конечное множество значений, то все ее члены, начиная с некоторого, будут равны ее пределу и образуют монотонную подпослед-сть. Если же эта сходящаяся подпослед-сть принимает бесконечное множество значений, то слева или справа от ее предела находится бесконечно много разных членов, и тогда среди них нет ближайшего к пределу. Рассмотрим случай, когда слева от ее предела находится бесконечно много разных членов, и среди них нет ближайшего к пределу. возьмем какой-либо из этих членов и обозначим его номер $%n_1.$% На интервале $%(a_{n_1},a)$% находится бесконечно много членов, выберем один из них с номером больше, чем $%n_1,$% обозначим его номер как $%n_2.$% На интервале $%(a_{n_2},a)$% находится бесконечно много членов, выберем один из них с номером больше, чем $%n_2,$% обозначим его номер как $%n_3.$% и т.д., получится монотонно возрастающая подпоследовательность. Случай, когда справа от ее предела находится бесконечно много разных членов разбирается аналогично.

ссылка

отвечен 21 Сен '17 21:39

изменен 21 Сен '17 21:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
21 Сен '17 21:02

показан
2843 раза

обновлен
21 Сен '17 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru