В правильном тетраэдре ABCD проведены два сечения, параллельные ребрам AC и BD. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны S1 и S2, а расстояние между секущими плоскостями равно d.

задан 22 Сен '17 1:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как известно, любую треугольную пирамиду можно разместить в параллелепипеде... соответственно правильный тетраэдр размещается в кубе... Сечение, параллельное скрещивающимся рёбрам, будет параллельно грани куба...

На рисунке сечение одно... поэтому будем далее для сечений с площадями $%S_1$% и $%S_2$% точки обозначать с соответствующими индексами - $%F_1,G_1,\ldots$% и $%F_2,G_2,\ldots$%

alt text

Обозначим ребро куба через $%a$%, тогда искомое ребро тетраэдра равно $%a\sqrt{2}$%...

Не уменьшая общности можно считать, что сечение с площадью $%S_1$% ближе к $%AC$%, чем сечение с площадью $%S_2$%...

Пусть $%AF_1=x$%... тогда $$ S_1 = x\sqrt{2}\cdot (a-x)\sqrt{2} $$ По условию $%F_1F_2=d$%, следовательно, $%AF_2=x+d$%, откуда $$ S_2 = (x+d)\sqrt{2}\cdot (a-x-d)\sqrt{2} $$ Дальше решаем систему и находим $%a$%... правда, муторно это...

ссылка

отвечен 22 Сен '17 1:44

изменен 22 Сен '17 1:47

@all_exist, спасибо. Есть ли возможность решить данную задачу с помощью векторного и смешанного произведения? Задача из этой темы

(22 Сен '17 12:28) bbbbbb

Ну, пока не вижу как тут в терминах векторного и смешанного произведений можно описать решение...

Есть конечно вектор $%\overline{AF}$%, который направлен вдоль произведения $%\overline{AC}\times\overline{BD}$%... есть площади - которые можно записать как модули векторных произведений... Но всё это кажется слишком притянутым за уши...

(22 Сен '17 18:49) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×26

задан
22 Сен '17 1:01

показан
844 раза

обновлен
22 Сен '17 18:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru