Все натуральные числа выписаны в порядке возрастания без разделителей. В результате получилась бесконечная последовательность цифр:

1234567891011121314...

Докажите, что существует число, образованное первыми несколькими цифрами этой последовательности и делящееся на 2017.

задан 22 Сен '17 12:24

10|600 символов нужно символов осталось
4

Я понимаю условие так, что разрешено "обрывать" записываемые числа -- скажем, если мы на 123-м шаге приписываем 123 к записи A, то можно рассматривать и A1, и A12. Рано или поздно мы начнём приписывать число вида 100..100..100..1..., где секции вида 00..1 состоят из 10^{2016} цифр. Если "текущий" остаток от деления на 2017 равен r (до приписывания секций вида 00..1), то ввиду малой теоремы Ферма, он после умножения на указанную степень 10 не будет меняться, а затем к нему будет каждый раз прибавляться по единице. При достаточно большом числе секций, мы рано или поздно придём к остатку 0.

Если рассматривать "усиленный" вариант, когда приписываемые числа можно брать только целиком, то "ручного" решения мне на данный момент не известно, а компьютерная программа в Maple показывает, что на 2017 будет делиться число 123...9101112...14241425.

P.S. Было также интересно узнать, в какой момент произойдёт впервые данное событие, если записи чисел можно обрывать. Оказывается, лишь немногим раньше. Это будет на числе 123...9101112...1355135613.

ссылка

отвечен 22 Сен '17 13:03

изменен 22 Сен '17 13:17

1

@falcao, большое спасибо!

(24 Сен '17 0:23) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×310
×150
×128

задан
22 Сен '17 12:24

показан
590 раз

обновлен
24 Сен '17 0:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru