Доказать тождество: ([a, b], [b, c], [c, a])= (a, b, c)2

задан 22 Сен '17 22:04

изменен 22 Сен '17 22:47

Распишите правую и левую часть в координатах.

(22 Сен '17 22:28) Амфибрахий

@Амфибрахий, хотелось бы решить без использования координат, а основываясь на свойствах векторного и смешанного произведений

(22 Сен '17 22:30) bbbbbb

Я не против, приступайте!

(22 Сен '17 22:41) Амфибрахий

А "снежество" потом не надо будет доказать? :) Это я по поводу заголовка.

(22 Сен '17 22:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим параллелепипед, у которого $%\overline{AB}=\bar{a}$%, $%\overline{AD}=\bar{b}$%, $%\overline{AA_1}=\bar{c}$%... обозначим $%\angle BAA_1 = \angle(\bar{a}\bar{c})=\alpha$%, $%\angle DAA_1 = \angle(\bar{b}\bar{c})=\beta$%...

Так же рассмотрим сечение $%EFGH \perp AA_1$%... в котором обозначим $%\angle FEH =\varphi$% - плоский угол между гранями $%ABB_1A_1$% и $%ADD_1A_1$%...

alt text

Рассмотрим смешанное произведение из левой части равенства $$ J = (\bar{a}\times\bar{b})\cdot\Big[(\bar{b}\times\bar{c}) \times(\bar{c}\times\bar{a})\Big] $$

Нетрудно вспомнить, что векторы $%(\bar{b}\times\bar{c})$% и $%(\bar{c}\times\bar{a})$% являются нормалями к соответствующим граням параллелепипеда... то есть угол между этими векторами равен углу $%\varphi$%...
Кроме того, векторы $%(\bar{b}\times\bar{c})$% и $%(\bar{c}\times\bar{a})$% перпендикулярны $%\bar{c}$%... следовательно, их векторное произведение будет параллельно $%\bar{c}$%... то есть $$ (\bar{b}\times\bar{c}) \times(\bar{c}\times\bar{a}) = \lambda \bar{c}, $$ где $$ \lambda = |\bar{a}|\cdot |\bar{b}|\cdot |\bar{c}| \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin\varphi $$

Таким образом, $%J = \lambda\;\;(\bar{a}\times\bar{b})\cdot\bar{c}$% и осталось показать, что $%\lambda = (\bar{a}\times\bar{b})\cdot\bar{c}$%...

Очевидно, что $%|\bar{a}|\cdot \sin\alpha = EF$%, а $%|\bar{b}|\cdot \sin\beta= EH$%... тогда $$ \lambda = (EF\cdot EH\cdot \sin\varphi)\cdot|\bar{c}| = S_{EFGH}\cdot AA_1 $$ Последнее произведение равно объёму параллелепипеда (то есть смешанному произведению), в чём нетрудно убедиться, если разрезать параллелепипед по сечению и переставить полученные части местами ...

ссылка

отвечен 23 Сен '17 0:08

@all_exist, Спасибо!

(23 Сен '17 0:12) bbbbbb

не за что...

(23 Сен '17 0:20) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216

задан
22 Сен '17 22:04

показан
1301 раз

обновлен
23 Сен '17 0:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru