$%\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{5^k}C_{2k}^k$%

Официально это упражнение по комплексному анализу...

задан 23 Сен '17 1:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим разложение функции $%\frac1{\sqrt{1-4x}}=(1-4x)^{-1/2}$% в ряд Тейлора в окрестности нуля. Нетрудно проверить, что получится $%\sum_{k=0}^{\infty}C_{2k}^kx^k$%. Радиус сходимости равен $%\frac14$%. При $%x=\frac15$% ряд сходится, и его сумма равна $%\frac1{\sqrt{1-\frac45}}=\sqrt5$%.

В условии задачи суммирование идёт от единицы, поэтому ответом будет число $%\sqrt5-1$%.

ссылка

отвечен 23 Сен '17 1:46

Т.е. тут вещественный ряд Тейлора, и заморачиваться с ветвями не надо?

И почему все-таки разложение такое? Получается $%\sum_{k=0}^\infty (-4x)^k C_{-1/2}^k$%. Почему $%(-4)^kC_{-1/2}^k=C_{2k}^k$%?

Получается $%(-4)^kC_{-1/2}^k=(-4)^k\frac{-1/2(-1/2-1)\dots (-1/2-k+1)}{k!}=\frac{2(2+4)(2+8)\dots (2+4(k-1))}{k!}\ne C_{2k}^k$%

(26 Сен '17 2:52) Slater

@Slater: ряд задаёт аналитическую функцию, которая на вещественной прямой выражается через корень. Этого здесь достаточно.

Произведение чисел 2, 6, ... , 4k-2 легко выражается через факториалы и степени. Вычленяете двойки, список 1, 3, ... , 2k-1 дополняете чётными числами, умножая и деля. В числителе будет (2k)!, в знаменателе чётные числа. Вычленяем двойки, степень 2^k сократится. Останется k!, что в итоге и даст сочетания. Это рутинная вещь.

(26 Сен '17 20:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
23 Сен '17 1:27

показан
221 раз

обновлен
26 Сен '17 20:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru