$%\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}C_{2k}^k$%

Это тоже упражнение по комплексному анализу...

задан 23 Сен '17 1:30

Эта задача на тот же самый ряд. Здесь надо подставить не x=1/5, а x=-1/4 (сходимость на левом конце отрезка есть). Получится 1/sqrt(2), если суммировать от нуля, а тут на 1 меньше.

(23 Сен '17 1:50) falcao

Почему сходимость на левом конце есть?

(23 Сен '17 1:53) Slater

@Slater: данный ряд сходится по признаку Лейбница, и тогда можно применить теорему Абеля о степенных рядах, заключая, что степенной ряд на левом конце сходится к значению той же функции.

Это примерно такой же приём как при доказательстве равенства ln 2 = 1-1/2+1/3-1/4+... .

(23 Сен '17 2:00) falcao

А как применяется теорема Абеля? То есть почему ряд из предположений теоремы Абеля сходится в рассматриваемом случае?

(27 Сен '17 23:57) Slater

@Slater: функция 1/sqrt(1-4x) непрерывна в точке x=-1/4, а степенной ряд сходится при этом значении, а также в открытом круге. Теорема даёт возможность сделать вывод, что в концевой точке сумма ряда также равна значению этой функции.

Для сравнения: ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-... при |x| < 1. Логарифм непрерывен в точке x=1. Степенной ряд при x=1 сходится. Значит, по теореме это значение можно подставлять в формулу.

(28 Сен '17 0:27) falcao

А почему степенной ряд сходится в этой концевой точке?

(28 Сен '17 0:32) Slater

@Slater: выше было сказано: по признаку Лейбница. Для проверки того, что это так, надо доказать монотонное стремление a_k=C_{2k}^k/4^k к нулю. Рассмотрите отношение a_{k+1}/a_k. После всех сокращений получится (2k+1)/(2k+2) < 1, то есть последовательность убывает. Стремление к нулю можно проверить разными способами. (Замечу, что если бы его не было, то задача состояла бы в нахождении суммы расходящегося ряда.)

(28 Сен '17 0:40) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
23 Сен '17 1:30

показан
321 раз

обновлен
28 Сен '17 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru