Приведите пример функции, которая интегрируема по вертикальным и горизонтальным сечениям, но в общем случае неинтегрируема.

задан 24 Сен '17 4:27

@stander: я бы уточнил условие, потому что тут возможны разные нюансы. Верно ли, что функция рассматривается на единичном квадрате? Идёт ли речь об интегрируемости по Риману, или по Лебегу? Допускаются ли при этом несобственные интегралы? По-моему, тут получается не одна задача, а сразу несколько.

(24 Сен '17 14:09) falcao

@falcao: извините, я некорректно сформулировала вопрос. Имелся в виду собственный Риман.

(24 Сен '17 20:57) stander
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим пример для несколько другого толкования условия. Рассматриваем ограниченные функции на единичном квадрате, и говорим об интегрируемости функций по Риману в классическом смысле.

Для начала построим пример счётного всюду плотного множества в единичном квадрате, которое любая горизонтальная или вертикальная прямая пересекает не более чем в одной точке. А можно чуть усилить пример, потребовав, чтобы любая прямая пересекала множество не более чем в двух точках.

Берём открытые круги (шары) с рациональными радиусам и центрами в точках с рациональными координатами. Это счётное множество; его элементы произвольно нумеруем. Далее пошагово выбираем точки в каждом очередном шаре. Это даёт всюду плотное множество. На каждом шаге выбрано лишь конечное множество точек, и в шаре всегда можно выбрать точку, абсцисса и ордината которой ещё не были выбраны. То же самое для случая любых сечений прямыми: через все выбранные пары точек проводим прямые; их конечное число. Поэтому есть точка шара вне таких прямых.

Рассмотрим характеристическую функцию построенного множества. Она не интегрируема по Риману на квадрате, так как во всех точках наблюдается разрыв (подобно функции Дирихле на отрезке). При сечении прямыми, получаются функции, равные нулю всюду кроме одной или двух точек. Они интегрируемы.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 14:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Стандартный пример: $%f(x,y)=\begin{cases} y^{-2},&\text{если 0 < x < y < 1}\\ -x^{-2},&\text{если 0 < y < x < 1 }\\ 0,&\text{в остальных точках квадрата [0;1]x[0;1].} \end{cases}$%

ссылка

отвечен 24 Сен '17 10:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
24 Сен '17 4:27

показан
1451 раз

обновлен
24 Сен '17 20:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru