Пусть $% \left( X, \mu \right) $% - пространство с мерой, и пусть $% f $% - существенно ограниченная функция на $% X $% (то есть ограниченная на множестве полной меры). Существенная верхняя грань определяется по формуле $$ ess \, sup \left| f \right| = inf \left( sup \left| f \right|: E \subset X, \mu \left(X \setminus E \right) =0 \right). $$

Докажите что $% inf $% достигается. Как следствие $% ess \, sup \left| f \right| = 0 $% тогда и только тогда, когда $% f = 0 $% почти всюду.

задан 24 Сен '17 5:35

изменен 24 Сен '17 6:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $%esssup|f|=p$% и определим $%E_n:\sup_{X∖E_n}|f|< p+1/n :E_n⊂X,μ(X∖E_n)=0.$% Тогда $%p=\sup_{X∖(\cup E_n)}|f|.$%

ссылка

отвечен 24 Сен '17 12:04

Извините, но я кое-что не могу понять. Почему $% \mu \left( X \setminus E_n \right) =0 $% или.. Если мы так задаём множество $% E_n $%, то тогда почему оно вообще существует?

(24 Сен '17 18:31) Cristy

@Cristy: это по условию. Inf чисел вида sup|f| берётся по всем таким E, для которых мера дополнения равна нулю.

(24 Сен '17 20:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,616
×385

задан
24 Сен '17 5:35

показан
170 раз

обновлен
24 Сен '17 20:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru