|
Функция $%f(x)$% определена при всех значениях переменной $%x$%. При этом для всех $%x$% выполняется равенство $%(f(x-2013)-1)(f(x+2013)-1)=2$%. Докажите, что функция $%f(x)$% является периодической. задан 14 Фев '13 20:47 
serg55 |
|
Положим для удобства $%c=2013$%. Основное равенство имеет вид $%(f(x-c)-1)(f(x+c)-1)=2$%, и оно верно для всех значений $%x$%. Заменим $%x$% на $%x+2c$%, в результате чего получится $%(f(x+c)-1)(f(x+3c)-1)=2$%. Заметим, что ни один из сомножителей, участвующих в этих произведениях, не равен нулю, так как в произведении с другим числом он даёт $%2$%, а не $%0$%. Теперь можно приравнять то, что получилось, и далее сократить на ненулевое число $%f(x+c)-1$%. Это даст $%f(x-c)-1=f(x+3c)-1$%, то есть $%f(x-c)=f(x+3c)$%, что верно для всех $%x$%. Следовательно, выполнено тождество $%f(x)=f(x+4c)$%, где $%x$% было заменено на $%x+c$%. Тем самым, функция $%f$% имеет период $%4c=8052$%, а потому является периодической. отвечен 14 Фев '13 21:01 
falcao |
