Функция $%f(x)$% определена при всех значениях переменной $%x$%. При этом для всех $%x$% выполняется равенство $%(f(x-2013)-1)(f(x+2013)-1)=2$%. Докажите, что функция $%f(x)$% является периодической.

задан 14 Фев '13 20:47

изменен 14 Фев '13 21:14

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим для удобства $%c=2013$%. Основное равенство имеет вид $%(f(x-c)-1)(f(x+c)-1)=2$%, и оно верно для всех значений $%x$%. Заменим $%x$% на $%x+2c$%, в результате чего получится $%(f(x+c)-1)(f(x+3c)-1)=2$%. Заметим, что ни один из сомножителей, участвующих в этих произведениях, не равен нулю, так как в произведении с другим числом он даёт $%2$%, а не $%0$%. Теперь можно приравнять то, что получилось, и далее сократить на ненулевое число $%f(x+c)-1$%. Это даст $%f(x-c)-1=f(x+3c)-1$%, то есть $%f(x-c)=f(x+3c)$%, что верно для всех $%x$%. Следовательно, выполнено тождество $%f(x)=f(x+4c)$%, где $%x$% было заменено на $%x+c$%. Тем самым, функция $%f$% имеет период $%4c=8052$%, а потому является периодической.

ссылка

отвечен 14 Фев '13 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из условия следует, что при всех х $$f(x) \neq 1.$$ Тогда $$f(x+4 \cdot 2013) = 1 + \frac{2}{f(x + 2 \cdot 2013) - 1} = 1 + \frac{2}{\frac{2}{f(x) - 1}}=f(x).$$

ссылка

отвечен 14 Фев '13 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×505
×365

задан
14 Фев '13 20:47

показан
705 раз

обновлен
14 Фев '13 21:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru