Найти все голоморфные на $%\mathbb{C}$% функции $%f=u+iv$%, удовлетворяющие свойству:

a. $%u+v=e^ysinx,\forall x,y\in \mathbb{R}$%,

b. $%uv=xy,\forall x,y\in \mathbb{R}$%

задан 24 Сен '17 15:37

изменен 24 Сен '17 15:53

@Rocknrolla: имеется в виду, что u, v --действительная и мнимая часть искомой голоморфной функции?

(24 Сен '17 15:48) falcao

@falcao, да.Поправил в задании.

(24 Сен '17 15:52) Rocknrolla

@Rocknrolla: здесь u,v будут корнями квадратного уравнения, то есть они выражаются через x,y однозначно с точностью до перестановки. Получатся две функции: u+iv и v+iu. Далее надо обе проверить на голоморфность через условия Коши - Римана. Предположительно, одна из этих функций должна подойти, а вторая нет. Умножение на -i ничего не меняет, и можно считать, что вторая функция равна u-iv.

Это пока только общая идея -- возможно, сначала надо продифференцировать сами равенства по x и по y.

(24 Сен '17 16:05) falcao

Я сейчас продифференцировал первое равенство по x и y, подставил условия Коши - Римана. Получились выражения для u, v через экспоненты и синусы. Второму тождеству они не удовлетворяют. Такое впечатление, что голоморфных функций с этими условиями нет.

(24 Сен '17 16:14) falcao

@falcao, видимо я не точно сформулировал задание. а и b - это два независимых пункта

(24 Сен '17 16:21) Rocknrolla
10|600 символов нужно символов осталось
1

a) Продифференцируем тождество по обеим переменным: $%u_x+v_x=e^y\cos x$%; $%u_y+v_y=e^y\sin x$%. Воспользуемся условиями Коши - Римана: $%u_x=v_y$%, $%u_y=-v_y$%, избавляясь от частных производных функции $%v$%. Это даёт $%u_x-u_y=e^y\cos x$%; $%u_x+u_y=e^y\sin x$%. Следовательно, $%u_x=\frac12e^y(\sin x+\cos x)$%; $%u_y=\frac12e^y(\sin x-\cos x)$%. Интегрируя по $%x$% и по $%y$%, имеем $%u=\frac12e^y(\sin x-\cos x)+\phi(y)$%; $%u=\frac12e^y(\sin x-\cos x)+\psi(x)$%, откуда $%\psi(x)=\phi(y)=C$%. Поэтому $%u=\frac12e^y(\sin x-\cos x)+C$%, $%v=\frac12e^y(\sin x+\cos x)-C$% из уравнения.

Это рассуждение показывает, что такой вид функций необходим для голоморфности $%f=u+iv$%. Проверка условий Коши - Римана ведёт к тем же уравнениям, и они выполняются. Следовательно, это условие достаточно. Далее $%f$% явно выражается, причём в виде функции от $%z$%, после применения тождества Эйлера. По-моему, если я не обсчитался, будет $%f(z)=(1-i)(C-\frac12e^{-iz})$%. (Желательно перепроверить.)

b) Этот пункт требуется продумать: скорее всего, там должно получиться $%u=x$%, $%v=y$%, но при решении "в лоб" получаются слишком сложные для анализа условия.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 16:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378
×159

задан
24 Сен '17 15:37

показан
556 раз

обновлен
24 Сен '17 16:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru