высшая-алгебра - Изоморфизм полей

Выделяя полные квадраты, имеем $%(x+3)^2-8$% и $%(y-7)^2-18$%. При изоморфизме, $%x$% нужно перевести в линейное от $%y$% выражение $%f(x)=ay+b$%, чтобы оно удовлетворяло уравнению $%(f(x)+3)^2=8$%.

Нам достаточно обеспечить условие $%f(x)=2\sqrt2-3$% (пока на уровне эвристики), где $%y=3\sqrt2+7$%. Получается $%\sqrt2=\frac13(y-7)$%, откуда $%f(x)=\frac23y-\frac{23}3$%.

Теперь то же самое на формальном уровне: правило $%x\mapsto\frac{2y-23}3$% индуцирует гомоморфизм кольца многочленов $%\mathbb Q[x]$% во второе поле (это на самом деле поле, так как порождающий главного идеала неприводим над полем рациональных чисел). Очевидно, что перед нами сюръекция. Найдём ядро. Прямая проверка показывает, что многочлен $%(x+3)^2-8$% принадлежит ядру -- выражение именно из таких соображений и подбиралось. Действительно, $%f((x+3)^2-8)=(f(x)+3)^2-8=\frac49(y-7)^2-8=0$% во втором факторкольце.

Осталось показать, что ядро совпадает с главным идеалом многочлена $%(x+3)^2-8$%. Это даёт изоморфизм, с учётом теоремы о гомоморфизмах. Рассматривая произвольный элемент ядра, заменяем его остатком от деления на многочлен второй степени. Получается $%cx+d$%, что должно переходить в ноль после замены. Тогда $%c=0$%, чтобы коэффициент при $%y$% стал нулевым, и далее $%d=0$%, так как константы переходят в себя.