Как явно построить изоморфизм между полями Q[x]/(x^2+6x+1) и Q[y]/(y^2-14y+31)

задан 24 Сен '17 16:49

возвращен 24 Сен '17 23:40

falcao's gravatar image


221k2243

а где условие?...

(24 Сен '17 23:23) all_exist

@Aqwer: удалять условия с форума не разрешается!

(24 Сен '17 23:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Выделяя полные квадраты, имеем $%(x+3)^2-8$% и $%(y-7)^2-18$%. При изоморфизме, $%x$% нужно перевести в линейное от $%y$% выражение $%f(x)=ay+b$%, чтобы оно удовлетворяло уравнению $%(f(x)+3)^2=8$%.

Нам достаточно обеспечить условие $%f(x)=2\sqrt2-3$% (пока на уровне эвристики), где $%y=3\sqrt2+7$%. Получается $%\sqrt2=\frac13(y-7)$%, откуда $%f(x)=\frac23y-\frac{23}3$%.

Теперь то же самое на формальном уровне: правило $%x\mapsto\frac{2y-23}3$% индуцирует гомоморфизм кольца многочленов $%\mathbb Q[x]$% во второе поле (это на самом деле поле, так как порождающий главного идеала неприводим над полем рациональных чисел). Очевидно, что перед нами сюръекция. Найдём ядро. Прямая проверка показывает, что многочлен $%(x+3)^2-8$% принадлежит ядру -- выражение именно из таких соображений и подбиралось. Действительно, $%f((x+3)^2-8)=(f(x)+3)^2-8=\frac49(y-7)^2-8=0$% во втором факторкольце.

Осталось показать, что ядро совпадает с главным идеалом многочлена $%(x+3)^2-8$%. Это даёт изоморфизм, с учётом теоремы о гомоморфизмах. Рассматривая произвольный элемент ядра, заменяем его остатком от деления на многочлен второй степени. Получается $%cx+d$%, что должно переходить в ноль после замены. Тогда $%c=0$%, чтобы коэффициент при $%y$% стал нулевым, и далее $%d=0$%, так как константы переходят в себя.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 17:13

Спасибо за ответ! Непонятно еще, а как вообще будут выглядеть все изоморфизмы между этими полями?

(24 Сен '17 17:19) Aqwer

@Aqwer: в условии не требовалось описывать все изоморфизмы, но вообще-то это делается легко, так как их всего два. Оба поля изоморфны простому алгебраическому расширению Q(sqrt(2)). Автоморфизмов у такого поля два: помимо тождественного, есть ещё sqrt(2)->-sqrt(2). Других нет, так как любой автоморфизм переставляет корни неприводимого многочлена t^2-2. Два изоморфизма отличаются на автоморфизм поля, и достаточно предъявить второй. Он имеет вид f(x)=-2y/3+k, где константа k находится из аналогичных соображений.

(24 Сен '17 17:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×344
×67
×38

задан
24 Сен '17 16:49

показан
443 раза

обновлен
24 Сен '17 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru