alt text

задан 24 Сен '17 17:13

@kostebo79: у меня есть смутное воспоминание, что этот определитель когда-то уже вычисляли на форуме. Ссылки не помню, правда, но припоминаю сам метод нахождение (через свойство линейности по строкам).

(24 Сен '17 18:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Представим каждую из строк в виде суммы двух векторов. Один из них равен $%a=(a_1,...,a_n)$%, а другой пропорционален $%i$%-му единичному вектору, и имеет вид $%y_ie_i$%, где $%y_i=x_i-a_i$%.

Пользуясь линейностью определителя по каждой из строк, представляем его в виде суммы $%2^n$% детерминантов. Они получаются посредством выбора одного из двух слагаемых в каждой из строк. Ясно, что определители с повторяющимися строками можно не учитывать, и тогда вектор $%a$% либо не присутствует, либо встречается ровно однажды.

В первом случае определитель имеет диагональный вид, и он равен $%y_1...y_n$%. Если же $%i$%-я строка предыдущего детерминанта заменена на $%a$%, то надо $%y_i$% заменить на $%a_i$%, что удобно представить в форме $%y_1...y_n\cdot\frac{a_i}{y_i}$%.

Суммируя, имеем ответ $%y_1...y_n(1+\frac{a_1}{y_1}+\cdots+\frac{a_n}{y_n})=(x_1-a_1)...(x_n-a_n)(1+\frac{a_1}{x_1-a_1}+\cdots+\frac{a_n}{x_n-a_n})$%. Такая форма ответа представляется наиболее удобной. Случаи $%x_i=a_i$% после раскрытия скобок приводят к сокращению выражений в числителе и знаменателе.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 19:06

Не понял, что значит определитель имеет диагональный вид? Почему мы можем посчитать его как произведение диагональных элементов, ведь внедиагональные элементы не нулевые.

(25 Сен '17 2:16) kostebo79

Диагональный вид -- это и значит, что вне главной диагонали все нули. Там ведь в одном слагаемом нет строк, равных a, то есть i-я строка имеет вид (x_i-a_i)e_i, где e_i=(0,...,0,1,0,...,0).

(25 Сен '17 2:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×102

задан
24 Сен '17 17:13

показан
359 раз

обновлен
25 Сен '17 2:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru