z - x^2 = y^4

(x+1)^2 - z = 2^y

Найти все z <= 100 000, для которых существуют положителные целые числа x и y, для которых верны эти уравнения.

задан 24 Сен '17 17:49

изменен 24 Сен '17 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Систему уравнений можно представить в виде $%z=x^2+y^4=(x+1)^2-2^y$%. Отсюда $%2x+1=y^4+2^y$%, то есть $%y$% нечётное, а $%x=\frac{y^4-1}2+2^{y-1}$%.

Остаётся понять, при каких значениях $%y$% будет выполняться неравенство $%x^2+y^4\le10^5$%. При $%y=3$% имеем $%x=44$%, и $%z=44^2+3^4=2017$%. При $%y=5$% значения будут уже большими: $%x=328$%, и его квадрат превышает $%10^5$%. Помимо $%(x,y,z)=(44;3;2017)$%, есть ещё решение $%(1;1;2)$%.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 18:06

Спасибо большое

(24 Сен '17 18:14) LevAroniansFan
1

@LevAroniansFan: задача, как я понимаю, составлена с учётом того, что 2017 расположено между точными квадратами 44^2=1936 и 45^2=2025, и промежутки получаются 81 и 8, что наводит на мысль о степенях. То есть это весьма интересное наблюдение само по себе.

(24 Сен '17 18:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×909

задан
24 Сен '17 17:49

показан
261 раз

обновлен
24 Сен '17 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru