(1) Пусть X - множество натуральных чисел, не кратных трем. Пусть $%x_n=\frac{|X\cap\{1,\dots,n\}|}{n}$%. Доказать что $%\lim_{n\rightarrow \infty}x_n$% существует и найти предел.

(2) Пусть Y - множество натуральных чисел, не кратных трем или двум. Пусть $%y_n=\frac{|Y\cap\{1,\dots,n\}|}{n}$%. Доказать что $%\lim_{n\rightarrow \infty}y_n$% существует и найти предел.

задан 24 Сен '17 20:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Среди чисел от 1 до n имеется ровно [n/3] таких, которые кратны 3. Эта величина находится в пределах от n/3 до n/3+1. Не кратных трём чисел больше, чем 2n/3-1 и не больше, чем 2n/3. Деля на n, имеем 2/3-1/n<=x_n<=2/3. Далее применяем "лемму о двух милиционерах". Предел "промехжуточной" последовательности равен 2/3.

Здесь всё аналогично: кратно 2 примерно n/2 чисел, кратно 3 примерно n/3. Среди них есть кратные и 2, и 3. Их примерно n/6. Итого двум или трём кратно примерно n(1/2+1/3-1/6)=2n/3 чисел. Остальные n/3 не кратны ни 2, ни 3. Тогда предел равен 1/3.

Чтобы не возиться с оценками целых частей и неравенствами, можно рассуждать так. Разобьём все числа от 1 до n на последовательные шестёрки. При этом может остаться от 0 до 5 дополнительных чисел. В каждой шестёрке есть ровно два числа, которые нам подходят: это 6k+1 и 6k+5. Это уже даёт 1/3. А превышение не важно, так как оно даёт после деления на n величину <=5/n, которая стремится к нулю.

ссылка

отвечен 24 Сен '17 20:38

А как получилось что "Не кратных трём чисел больше, чем 2n/3-1 и не больше, чем 2n/3"?

И во втором пункте меня немного пугает везде "примерно". Как зажать предел не примерно?

(25 Сен '17 19:55) wart

@wart: если кратных трём чисел имеется m, то не кратны трём все остальные, то есть n-m чисел. Было сказано, что n/3<=m<n/3+1, откуда следуют неравенства для n-m.

Эвристическое рассуждение с "примерно" можно по образцу предыдущего превратить в строгое, если оценки вести с точностью до констант, в виде неравенств. Но это лишняя возня, и я в последнем абзаце изложил другой подход, где всё абсолютно строго.

(25 Сен '17 20:32) falcao

В последнем абзаце непонятны значения словосочетаний "может остаться" (где?) и "это уже дает" (в частности не понятно какое превышение имеется в виду после этого словосочетания)

(25 Сен '17 20:48) wart
1

@wart: имеется в виду самый "бытовой" смысл. Допустим, у меня 100 чисел. Здесь 100 не делится нацело на 6. Я разбиваю всё на шестёрки, и у меня остаётся 4 числа.

Когда в каждой шестёрке мы выбрали по два числа, то получили 1/3 от количества чисел в шестёрках. Если n=6q+r, где r -- остаток, то нам подходят от 2q до 2q+r чисел. При делении на 6q+r и переходе к пределу получается 1/3.

(25 Сен '17 21:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
24 Сен '17 20:26

показан
246 раз

обновлен
25 Сен '17 21:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru