Пусть $%x_n$% - ограниченная последовательность причем $%|x_n-x_{n-1}|<1/n\ \forall n$% Сходится ли последовательность?

задан 24 Сен '17 20:29

изменен 25 Сен '17 19:56

Не обязательно. Пусть, например, x_n=x_{n-1}+1/(2n). Тогда получается полусумма членов гармонического ряда, которая стремится к бесконечности.

(24 Сен '17 20:31) falcao

Если добавить условие ограниченности как в условии сейчас?

(25 Сен '17 19:57) wart

ограниченности тоже не хватит... ведь можно элементы гармонического ряда уложить вдоль отрезка "туда-сюда" и предельной точки не получить...

(25 Сен '17 21:42) all_exist

А как построить явный контрпример?

(25 Сен '17 21:45) wart

ну, конструктивно построение описано... (взять отрезок длины, например, два... и некий начальный элемент... прибавляем $%\frac{1}{2n}$% пока не достигнем верхней границы отрезка... затем начинаем отнимать пока не достигнем нижней границы... и так далее) ...

Как это выразить в явном виде не знаю... да и не важно это...

(25 Сен '17 21:52) all_exist

То есть, скажем, эта последовательность начинается так: 0, 1/(2n), 3/(2n), 2/n, 5/(2n), ..., [член последовательности, подходящий близко к 2], [член последовательности, подходящий близко к 2]-1/(2n), [член последовательности, подходящий близко к 2]-1/n, [член последовательности, подходящий близко к 2]-3/(2n), ..., 1/(2n), 0, 1/(2n), ... ?

(25 Сен '17 22:16) wart
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

имеется ввиду, что на $%n$%-ом шаге прибавляем/отнимаем $%\frac{1}{2n}$%...

например, взяли отрезок $%[-1;1]$% и начальный элемент $%x_0=0$%...

дальше строим члены $$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = x_1+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}, \quad x_3 = x_2+\frac{1}{6} = \frac{11}{12}
$$

поскольку $%x_3+\frac{1}{8} = \frac{25}{24} > 1$%, то начинаем отнимать $$ x_4 = x_3-\frac{1}{8} = \frac{19}{24}, \quad x_5 = x_4-\frac{1}{10} = \ldots $$

и так далее...

ссылка

отвечен 25 Сен '17 22:27

изменен 25 Сен '17 22:27

То есть последовательность почти та же, о которой говорил @falcao, но только "засунутая" в [-1,1]? Почему у нее нет предельной точки?

(25 Сен '17 22:31) wart

Почему у нее нет предельной точки? - потому что гармонический ряд расходится...

(25 Сен '17 22:36) all_exist

Как это связано?.. Тут же сначала прибавляются 1/2n, потом отнимаются

(25 Сен '17 22:43) wart

Тут же сначала прибавляются 1/2n, потом отнимаются - но $%n$% при этом разные...

Расходимость гарантирует, что мы сначала сможем достигнуть правой границы... потом левой... потом опять правой... и так далее...

(25 Сен '17 22:49) all_exist

@wart: предельная точка есть у всякой ограниченной последовательности. Но у построенной @all_exist последовательности нет предела, так как её члены сколь угодно близко подходят к обоим концам. Из расходимости гармонического ряда ясно, что не может быть "зависания" где-то посередине, и она каждый раз будет доходить почти до края (ввиду уменьшения расстояний).

(25 Сен '17 23:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
24 Сен '17 20:29

показан
227 раз

обновлен
25 Сен '17 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru