Как представить функцию, непрерывную во всех иррациональных точках и разрывную во всех рациональных ( функция Римана), как предел (поточечный) последовательности непрерывных функций?

задан 25 Сен '17 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Представим функцию Римана в виде поточечного предела последовательности непрерывных кусочно-линейных функций $%f_n(x)$%. Достаточно это сделать для единичного отрезка.

При данном $%n$% рассматриваем все несократимые дроби, знаменатели которых не превосходят $%n$%. В точках вида $%\frac{p}q$%, где $%q\le n$%, значение функции $%f_n$% полагаем равным $%\frac1q$%. Точек такого вида конечное число. Наносим их на график и соединяем ломаной. Это задаёт $%f_n(x)$%.

Например, для $%n=1$% получается константа $%1$%, при $%n=2$% график "провисает" в точке $%x=\frac12$%, имея V-образную форму; при $%n=3$% получится W-образная форма, и так далее. Заметим, что старые точки графиков сохраняются при увеличении $%n$%.

Проверим, что $%f_n(x)$% поточечно сходится к функции Римана. Для рациональных $%x$% это очевидно: если $%x=\frac{p}q$% -- несократимая дробь, то $%f_n(x)=\frac1q$% при всех $%n\ge q$%, и постоянная последовательность сходится куда нужно.

Пусть $%a\in(0;1)$% иррационально. Для произвольного $%\varepsilon > 0$% рассмотрим номер $%n > 1/\varepsilon$%. Рассмотрим ближайшие к $%a$% рациональные дроби, учитываемые на $%n$%-м шаге. Пусть это числа $%b$% и $%c$%. Их знаменатели могут быть маленькими, что нас не устраивает. Но на интервалах $%(b,a)$% и $%(a,c)$% имеется бесконечно много рациональных чисел, и у них у всех знаменатели строго больше $%n$%. На каком-то шаге мы дождёмся учёта этих рациональных чисел, и тогда ближайшие к $%a$% слева и справа рациональные дроби будут иметь знаменатели, большие $%n$%. Значит, на концах отрезка, окружающего $%a$%, значения функций $%f_m$% будут меньше $%\frac1n < \varepsilon$%, но функция на отрезке линейна, и для любой её точки значение функции удовлетворяет тому же неравенству.

Получается, что для достаточно больших $%m$% будет $%f_m(a) < \varepsilon$%, и предел в точке $%a$% равен нулю.

ссылка

отвечен 25 Сен '17 21:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
25 Сен '17 16:20

показан
485 раз

обновлен
25 Сен '17 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru