Можно ли в вершинах восьмиугольника расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы суммы трёх чисел, расположенных в любых соседних вершинах, были:

а) больше 11;

б) больше 12;

в) больше 13?

задан 25 Сен '17 16:32

изменен 25 Сен '17 16:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Просуммируем все тройки. Каждое число будет учтено 3 раза. Получится 3(1+2+...+8)=108. В среднем на одну тройку приходится 27/2. Отсюда сразу ясно, что больше 13 (то есть не меньше 14, ввиду целочисленности), на каждую тройку прийтись не может.

Попробуем теперь составить пример для варианта б), когда все тройки в сумме дают не меньше 13. Поначалу кажется, что он существует, так как есть достаточный запас для средних значений сумм. Однако потом выявляются причины, по которым его всё-таки нет. В процессе этого дела можно построить более слабый пример для пункта а), где все суммы не меньше 12. Скажем, 14726538.

Теперь остаётся доказать, что для пункта б) ответ всё-таки отрицателен. Рассмотрим положение числа 1: пусть это место номер 1, а остальное пронумеруем по кругу. Рядом с ним не может находиться ни 2, ни 3 (ни также 4, но это понадобится позже). Более того, числа 1 и 2, или 1 и 3, не могут следовать через одно: даже если между ними поставить 8, то сумма не превзойдёт 12. Таким образом, числа 2 и 3 могут находиться только на трёх местах: 4-м, 5-м или 6-м. Если они стоят рядом, то их сумма 5, а тогда 8 должно стоять и слева, и справа. Значит, они стоят через одно место, а между ними находится 8. То есть получается 1 ? ? 2 8 3 ? ?.

Теперь вспомним, что 1 и 4 не соседствуют (даже если бы 8 не было занято, оно стояло бы по обе стороны). Тогда 4 стоит рядом с 2 или 3, то есть через одну позицию от 1. Но в этом случае между ними должно идти 8, а оно занято.

ссылка

отвечен 25 Сен '17 17:56

@falcao, идеи здравые, но нуждаются в шлифовке, мне кажется...

(25 Сен '17 19:46) kipot_l

@kipot_l: я считаю, что у меня изложено полное и исчерпывающее решение. Если Вы в нём видите недостатки (пробелы, недостаточно обоснованные моменты и т.п.) -- укажите конкретно.

Я согласен лишь с тем, что можно изложить покороче, но это был "свежеиспечённый" текст: я писал сразу на чистовик, не зная итогового ответа.

(25 Сен '17 20:25) falcao

@falcao: я и не возражаю, что Ваше решение полное. И что между нашими двумя решениями много общего. Но моё решение кажется мне короче и прозрачней.

Кто бы нас рассудил...

Задача не слишком сложная, но - полезная для школьников и красивая.

(25 Сен '17 23:32) kipot_l

@kipot_l: задача хорошая -- мне вообще такой тип задач нравится. Что касается способов изложения, то об этом можно и нужно говорить. Но исходить надо из объективных данных, а не из "мне так кажется". Вот, скажем, я читаю Ваше решение и вижу фразу "Среди чисел а2, а3, а7, а8 должны присутствовать 4 из 5 чисел 4, 5, 6, 7, 8". Почему это так? Скорее всего, утверждение верно, но меня она "за секунду" не убеждает. Значит, что-то желательно "разжевать". Я эту работу проделал, затратив на аргументацию время и место. Может, по этой причине и вышло длиннее? :)

(25 Сен '17 23:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Начнём разумно с варианта б).

Зацепимся за число 1. Рассмотрим последовательность троек по кругу:

1, а2, а3; а4, а5, а6; а7, а8, 1;

Среди чисел а2, а3, а7, а8 должны присутствовать 4 из 5 чисел 4, 5, 6, 7, 8, причём 7 и 8 должны присутствовать обязательно. Тогда сумма чисел тройки а4, а5, а6 не превосходит

2+3+6 = 11, что противоречит условию задачи.

Таким образом, ответ на пункты б) и в) отрицательный. Для пункта а) строим расположение чисел интуитивно, например: 174 283 651.

Вопрос о количестве вариантов решения пункта а) остаётся открытым.

Задача взята из книги Д.Х. Муштари, Подготовка к математическим олимпиадам. Решение у уважаемого автора есть, но кривоватое, я его не смог даже понять, мешает лень...

Поэтому претендую на авторство.

ссылка

отвечен 25 Сен '17 19:43

изменен 25 Сен '17 19:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4
×1

задан
25 Сен '17 16:32

показан
677 раз

обновлен
25 Сен '17 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru