Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех точных кубов.

задан 25 Сен '17 16:49

10|600 символов нужно символов осталось
3

Это достаточно хорошо известная вещь. Пусть число имеет вид 3k+r, где r=0,1 или -1. Тогда при возведении в куб получится число, сравнимое с r^3 по модулю 9.

Таким образом, сумма трёх кубов целых чисел сравнима по модулю 9 с суммой трёх чисел, принимающих значения от -1 до 1, и в целом это даёт от -3 до 3. Ясно, что числа с остатком 4 или 5 в таком виде не представимы, а их бесконечно много.

Заметим, что отрицательные числа тоже можно разрешить. Также можно заметить, что открытым является вопрос о том, верно ли обратное (то есть, всякое ли число с другими остатками представимо). Про число 30 представление нашли сравнительно недавно, а про 33 пока ничего не известно).

ссылка

отвечен 25 Сен '17 18:01

1

@falcao действительно недавно (этим летом) нашли представление для 74. А 30 уже все-таки давно, лет 15 тому назад.

(25 Сен '17 18:31) knop

@knop: про число 74 я не знал. Это интересная информация. Сейчас нашёл ссылку. Числа там в примере 15-значные.

(25 Сен '17 20:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Это числа вида $%8l+7, l\in Z.$%

ссылка

отвечен 25 Сен '17 17:44

@Амфибрахий: 127 имеет вид 8k+7, но оно равно 5^3+1^3+1^3.

(25 Сен '17 18:04) falcao

@Амфибрахий, Хотелось бы видеть решение задачи, а не лозунги.

Задача взята из книги С.А. Генкина и др., Ленинградские математические кружки, 1994 г. Авторы книги тоже так думали, зачем-то... 8l+7... и всё! Испытываю чувство глубокого удовлетворения, когда цепляю на ошибках и недоработках авторов таких задачников.

(25 Сен '17 18:59) kipot_l

@kipot , вы сначала докажите, что только конечное число чисел указанного мной вида не представимы в виде суммы трех кубов, а уж потом испытывайте " чувство глубокого удовлетворения, когда цепляете на ошибках и недоработках авторов таких задачников." Ни я, ни авторы не сказали, что подходят ВСЕ числа такого вида, так что пока вам рано радоваться.

(25 Сен '17 20:25) Амфибрахий

@Амфибрахий: решение, изложенное falcao, вполне элементарное и доступно любому шустрому восьмикласснику, которым и адресована эта книга. А как доказать столь же элементарно и коротко, что в последовательности 8k+7 не слишком много членов представляется в виде суммы трёх кубов, я представляю лишь мутно и примерно. Чем так уж хороша последовательность 8k+7? Я вот полюбил последовательность 7k+3 (7k+4), и пытался проводить рассуждение для них.

(25 Сен '17 23:12) kipot_l

@kipot , речь идет о том, что не нужно свои неумения что-либо доказать оправдывать мнимыми промахами авторов задачников. Ваша фраза " Испытываю чувство глубокого удовлетворения, когда цепляю на ошибках и недоработках авторов таких задачников" звучит нелепо, поскольку реально вы авторов ни на каких недоработках не уцепили.

(26 Сен '17 0:03) Амфибрахий

@Амфибрахий: а как предлагается использовать специфику чисел вида 8n+7? Я так понимаю, что гипотеза состоит в том, что не представимы только числа вида 9m+4 и 9m+5. Ясно, что среди 8n+7 таких бесконечно много, но как помогают остатки от деления на 8? Для суммы трёх квадратов это было бы понятно.

(26 Сен '17 0:24) falcao

@Амфибрахий, я простой мальчик из подворотни, не из дворян. Приношу свои извинения больше Вам, чем авторам задачника...

Но давайте вернёмся к нашим баранам, то есть к задачам. Как коротко и красиво показать, что последовательность 8k+7 содержит не слишком много чисел, представимых в виде суммы трёх кубов?

Для последовательностей 7k+3 и 7k+4 берусь это доказать.

(26 Сен '17 19:28) kipot_l

@kipot_l: мне интересно, как это сделать по модулю 7. Я не знаю здесь иного способа кроме как рассуждения по модулю 9. Также для чисел 8k+7 мне всё ясно только лишь для сумм трёх квадратов.

(26 Сен '17 19:52) falcao

@falcao, идея такова. Среди первой тысячи чисел только десять степеней двойки. Среди первого миллиона - двадцать... Количество степеней двойки растёт линейно, а количество чисел экспоненциально. В нашем случае, для последовательности 7k+3, оценим количество сумм трёх кубов, где максимальное число из трёх, возводимых в куб, не превосходит пусть 18. Тогда количество сумм равно 1+5+10+15=31. Самое маленькое такое число равно 1+1+1=3, самое большое 18^3+18^3+18^3 = 17496 = 7 '2499 Таким образом, среди первых 2500 членов а.п. 7k+3 только 31 число представимо в виде суммы 3-х кубов. Примерно так...?

(26 Сен '17 21:36) kipot_l

@kipot_l: я пока не уловил связь. Идея асимптотических соображений -- это хорошо, но зачем рассматриваются степени двойки? И что следует из подсчёта, проведённого в конце? Какую роль играет специфика именно 7k+3?

(26 Сен '17 22:41) falcao

@Амфибрахий, @falcao: и в последовательности 8k+7 слишком мало членов представимо в виде суммы трёх кубов. Например, для набора остатков 1,3,3 получаем самое маленькое число 1^3 + 3^3 +3^3 = 55 = 8 '6 + 7. Далее надо все наборы трёх кубов надо упорядочить и пересчитать, это комбинаторика: 1,3,3// 1,3,11; 1,11,11; 9,11,11 ... Всего 18 сумм кубов, до 25,27,27 будет только 48 сумм кубов ... и т.д. Для наборов остатков 1,1,5 и 0,0,7 рассуждения аналогичны. Сумма кубов 25, 27 и 27 примерно 55 000, среди примерно 7 500 членов последовательности примерно 150 представимы в виде суммы трёх кубов.

(26 Сен '17 22:49) kipot_l

@falcao, степени двойки просто для иллюстрации идеи. Но похоже, что с последовательностью 8k+7 рассуждения проходят проще и яснее... Но для восьми-девятиклассникоов нонешних задача сложновата... И от авторов книги никаких указаний, "ни здрассте, ни насрать"!

(26 Сен '17 22:53) kipot_l

@kipot_l: по-моему, рассмотрение остатков по модулю 9 -- самая простая идея. К тому же ответ там получается на уровне гипотетического критерия, пока что никем не опровергнутого.

(26 Сен '17 23:21) falcao

@falcao, я и не спорю, решение с 9-кой предельно простое и ясное, даже слишком. Но речь шла о восстановлении принципиально другого, непонятного вначале решения с использованием последовательности 8k+7. И в Инете никакого решения этой задачи не ищется сразу...

(26 Сен '17 23:52) kipot_l
1

@kipot_l: для меня последовательность 8k+7 однозначно связана с суммой трёх квадратов. Там даже критерий известный есть: не представимы числа вида 4^m(8k+7), что почти очевидно, а все остальные представимы (что нетривиально). То есть мне поначалу думалось, что где-то кто-то мог перепутать одно с другим.

(27 Сен '17 0:06) falcao

@falcao, не исключено, поскольку в Инете мне с разгону просто не удалось найти ничего умного именно про эту задачу. Кроме экзальтированных рассуждений про тринитаризьм некоего С.Л. Василенко: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/1113-vs.pdf

(27 Сен '17 20:13) kipot_l
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861
×54
×43

задан
25 Сен '17 16:49

показан
1371 раз

обновлен
27 Сен '17 20:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru