Пусть $%x_n\ge 0$% последовательность и $%X_n=\sum_{i=1}^nx_i/n$% сходится. Обязана ли $%x_n$% быть ограниченной?

задан 25 Сен '17 20:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Не обязана. Представим себе последовательность 1, 2, 3, ... , перемежаемую нулями. Для каждого k подбираем такое n=n(k), чтобы ряд из k/n(k) сходился. Например, достаточно взять n(k)=k^3.

То есть получится 1/1+0/2+...+0/7+2/8+0/9+...+0/26+3/27+... . Этот ряд сходится, будучи равным 1+1/4+1/9+...+1/k^2+... . А числители не образуют ограниченной последовательности.

Добавление. Как заметил @all_exist, я изложил решение немного не той задачи. Но предложенный вариант даже проще. Здесь ответ также отрицательный.

Будем строит неограниченную последовательность по тому же принципу: вставляем нули между числами 1, 2, 3, ... . Добьёмся того, чтобы последовательность средних арифметических первых n членов стремилась к нулю. В принципе, годится тот же пример с кубами. Если мы рассмотрим суммы членов от 1 до k^3 (напомним, что k идёт на месте с номером k^3, а все остальные члены нулевые), то получится 1+2+...+k=k(k+1)/2, что растёт квадратично. После деления на n=k^3 получится в пределе 0.

Остальные суммы "зажаты" между (k-1)k/2 и k(k+1)/2, и при этом n находтся между (k-1)^3 и k^3. Стремление к нулю всё равно имеет место.

ссылка

отвечен 25 Сен '17 20:41

изменен 25 Сен '17 21:58

Можно ли обойтись без рядов? Эта задача была дана до их изучения

(25 Сен '17 20:44) wart

@wart: если понятие ряда "запрещено", то говорите о сходимости последовательности частичных сумм. Это то же самое.

(25 Сен '17 21:28) falcao

Откуда получилась сумма во 2 абзаце тоже не совсем понятно

(25 Сен '17 21:42) wart

@wart: мы сами задавали последовательность x_n, и выбрали нулевыми все остальные члены.

(25 Сен '17 21:49) falcao

Все равно непонятно, как выглядит среднее арифметическое первых n членов, и почему рассматриваются средние арифметические только с номерами n=k^3. (И вообще для начала вставляем нули между 1,2,3 каким образом? Можно же разное количество нулей вставлять?)

(25 Сен '17 22:07) wart

Видимо, в последнем абзаце рассматриваются средние арифметические с номерами отличными от k^3, но почему они так зажаты?

(25 Сен '17 22:09) wart

@wart: каждый номер n находится между какими-то последовательными кубами, то есть (k-1)^3 < n <= k^3. Сумма ограничена сверху числом k(k+1)/2. Величина, обратная n, ограничена сверху же числом 1/(k-1)^3. Поэтому среднее арифметическое не больше произведения, что стремится к нулю.

(25 Сен '17 22:14) falcao

А нули вставляются между 1,2,3 каким образом и вообще зачем? И как выглядит среднее арифметическое первых n=k^3 членов с нулями?

(25 Сен '17 22:24) wart

@wart: формальное определение такое. Положим x_n=0, если n не является точным кубом, и x_n=n^{1/3}, если является. Нули добавляются для того, чтобы суммы медленно росли, и среднее арифметическое стремилось к нулю. Сумма первых k^3 членов равна 1+2+...+k=k(k+1)/2, так как нулевые слагаемые можно не учитывать.

(25 Сен '17 22:48) falcao

Можно ещё такой пример рассмотреть... $$ 1,\;0,2,\;0,0,3,\;0,0,0,4,\;0,0,0,0,5,\ldots $$ Если не ошибаюсь, то средние сходятся к единице...

(25 Сен '17 22:54) all_exist

Т.е. последовательность $%1,0,\sqrt[3]{3},0,\dots, 0, \sqrt[3]{9},0,\dots,3,0,\dots, 0,\sqrt[3]{81},\dots $%? Откуда тогда такая сумма из целых чисел?

(25 Сен '17 23:12) wart

@wart, последовательность @falcao имеет вид $$ x_1=\sqrt[3]{1};\;0;\;\ldots\;;\;0;\;x_8=\sqrt[3]{8} ;\;0;\;\ldots\;;\;0;\;x_{27}=\sqrt[3]{27};\;\ldots $$

(25 Сен '17 23:25) all_exist

@wart: у меня все числа целые. Я извлекаю кубические корни из КУБОВ, а не из степеней тройки, как Вы написали.

@all_exist: Ваш пример тоже проходит, но мне было проще следить за стремлением к нулю, и использовать то, что уже было описано (так оказалось, что оно прямо подошло).

(25 Сен '17 23:33) falcao

В последнем абзаце применяется лемма о 2 милиционерах? Но граничные последовательности сходятся к 0 при k -> infty. А член между ними рассматривается при n -> infty. Почему так работает?

И до сих пор не понял, в каком месте были использованы добавочные нули. Что бы провалилось в доказательстве, если бы их не добавляли?

(26 Сен '17 0:03) wart

@wart: давайте сначала разберёмся с нулями. Если их не брать, то получатся средние (1+...+n)/n=(n+1)/2, что стремится к бесконечности.

Лемму о милиционерах я использую. Беру любое n, заключаю его между (k-1)^3 и k^3. Оцениваю сумму сверху, делю на n. Понятно, что если n стремится к бесконечности (то есть достаточно велико), то и k тоже стремится к бесконечности, и наоборот.

(26 Сен '17 0:15) falcao
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
0

@falcao, мне думается, что Ваш ответ касается последовательности $$ \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i} $$ В данном примере же идёт речь о среднем арифметическом первых членов последовательности...

@wart, Можно ли обойтись без рядов? Эта задача была дана до их изучения - это типовой пример на теорему Штольца... см. Фихтенгольц, Т. 1, п. 33, стр 67...

ссылка

отвечен 25 Сен '17 21:28

Теорема Штольца тоже изучена не была. Но даже если бы была, то не совсем понятно, как ее применить для данной задачи.. (Можно доказать, что среднее арифметическое сходится если последовательность сходится, но это ничего не дает)

(25 Сен '17 21:40) wart

@wart, Теорема Штольца тоже изучена не была. - если мне не изменяет память, то теорема Штольца фигурирует как задача в Демидовиче...

(25 Сен '17 21:47) all_exist

@all_exist: да, я неправильно прочитал индексы, и написал решение похожей задачи (которая сама по себе представляет интерес). Сейчас напишу рассуждение и для того варианта, который был предложен. Попробую обойтись без Штольца, и даже без Обломова :)

(25 Сен '17 21:52) falcao

ну, да... всё-таки это обратное утверждение к Штольцу... про типовой пример я загнул - втроём не разогнёшь... )))

(25 Сен '17 22:05) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,613

задан
25 Сен '17 20:32

показан
530 раз

обновлен
26 Сен '17 0:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru