Задано уравнение трёхмерного шара: $%(x – 1)^{2} + (y – 2)^{2} + (z - 3)^{2} < = 16$%. Представим себе, что мы двухмерные математики. Нам несложно представить себе такое уравнение трёхмерного шара. Но как нам донести до сознания двухмерных 11-классников понятие о шаре в трёхмерном измерении? Как написать уравнение шара в двухмерном измерении?

задан 15 Фев '13 22:54

изменен 27 Фев '13 11:52

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Думаю, что 11-ти классникам любой размерности не следует "подсовывать" слишком абстрактные понятия. Я помню, как мне трудно было на 1 курсе осознать абстрактное понятие "порядок" (читала о нем не по программе, а самостоятельно). А на 5 курсе мне стало казаться, что это простейшая вещь. И не потому, что я занималась именно порядками, просто увеличился общематематический опыт.
Как я понимаю, Вас волнует вопрос о наглядном представлении абстрактных понятий? Отвечу: это для популярных статеек. Тот, кто хочет заниматься математикой серьезно, должен отучаться от этой привычки, она сильно мешает.

(17 Фев '13 11:17) DocentI

Ребёнок видит стол дома, у соседей, учительский стол и проч. - он уже вынужден мыслить абстрактно. Жизнь сама подсовывает ему неудобоваримый материал. Всё это - стол в разных видах. Он, что, просто привыкает к миру, не осмысливая его назначение?..Вопрос о популярных статьях и серьёзной математике - это как раз вопрос о детях. Как им перейти из детства во взрослую жизнь? Сказать им: "Не занимайтесь чепухой (= не ищите объяснение необъяснимым понятиям), иначе вы никогда не поймёте, что такое серьёзная математика?" Ваша проблема с порядком - тоже отсюда. Вы пытались объяснить, но... привыкли.

(17 Фев '13 16:37) nikolaykruzh...

Привыкнуть - на самом деле единственный путь. Ну как, скажите на милость, я буду "воображать" пространство $%C[a, b]$% - множество непрерывных функций? А в нем есть и метрика, и норма и т.п. Или - что такое абстрактная группа? Ее основную операцию можно называть и сложением, и умноженмем, и композицией и т.п.
Когда мы проходим понятие меры, я прошу студентов доказать, что если множество A входит в B, то мера A не превосходит меры B. Начинаются рассуждения типа "часть меньше целого". Но это отношения к делу не имеет, нужно пользоваться свойствами меры. Здравый смысл здесь только мешдает.

(17 Фев '13 16:52) DocentI

Я со всем согласен - только не убивайте меня терминами, которые выше моего понимания. У меня такое впечатление, как будто я сижу в железной бочке, а Вы - как молотом!- колотите по ней этими терминами, и бочка герметична, и звуки никуда не уходят, и я попал внутрь абсолютно чёрного тела, и мне не выбраться из него, проклятого, во веки веков! Насчёт меры я тоже думал бы, как Ваши студенты, ничего зазорного в этом не вижу. Хотя, конечно, рисковал бы получить "неуд" на экзамене. Но Верещагин, методом которого пользуются все сопроматчики, придумал его, говорят, во время экзамена, боясь "неуда".

(17 Фев '13 18:27) nikolaykruzh...

Ну, так залезли-то в бочку Вы сами. Может, не стоит заниматься вопросами, которые Вам не по зубам?

(17 Фев '13 21:28) DocentI

В том-то и дело, что Вы специально провоцируете меня, чтобы я огрызался, а уж тут-то Вы с удовольствием покажете мне, что зубы-то у меня... того... И в бочку-то я сам залез. А вот у Вас и зубы настоящие, и молот у Вас есть. Вновь мне вспоминается гроссмейстер, который пришёл на шахматную площадку и кричит: "Что это вы тут собрались? А вы играть-то умеете?!" Это мало вероятно в шахматах, но в математике вполне реально встретить такого гроссмейстера. Я одного такого знаю. Но я на него не обижаюсь, хотя именно мне он говорит: "А что ты умеешь? Славянскую защиту знаешь? А дебют 4-х коней?"

(17 Фев '13 22:20) nikolaykruzh...

Если Вы придете к гроссмейстерам и будете смотреть, как они играют - это ничего. Можно иногда и спросить что-то. Только советы им давать не нужно. Или изобретать свои правила игры.

(17 Фев '13 23:49) DocentI

@falkao, по условию уравнение 3-мерного шара САРДАМОНу задано. Он должен объяснить ученикам это уравнение, пользуясь подручными, "плоскими" средствами. Представляет ли он сам себе это уравнение - надеюсь: да. Иначе, как и что он будет объяснять ученикам. Понятие у него сформировано. В том-то и вопрос: достаточно ли плоских сечений, чтобы ученики поняли его? Впрочем, это задача больше САРДАМОНа (и вообще - преподавателей), чем наша с Вами. Или Вы тоже преподаватель?

(18 Фев '13 0:09) nikolaykruzh...

Я по профессии преподаватель, но это не так важно. Допустим, я ученик, и мне Сардиниус XXVI задаёт неравенство от 26 переменных: $%a^2+b^2+\cdots+z^2\le2013$%. Понимаю ли я, что он описал? Даже безо всяких сечений. Это просто множество наборов из $%26$% чисел с определённым свойством. Для понимания этого вполне достаточно, а "мистическое слияние" с некой особой "сущностью" совсем не обязательно. Вот, скажем, Л.С.Понтрягин, один из крупнейших топологов, ослеп в 14 лет, но это ему не помешало представлять себе "в уме" очень сложные геометрические объекты.

(18 Фев '13 22:53) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если речь идёт о шаре, а не о сфере, то следует заменить знак равенства на $%\le$%. Я буду далее исходить из того, что речь идёт о шаре, а знак выбран именно так.

В принципе, это достаточно стандартная вещь. "Плоские" математики должны были бы представлять себе такую фигуру как семейство её плоских сечений, то есть для каждого фиксированного $%z$% надо рассматривать неравенство $%(x-1)^2+(y-2)^2\le 16-(z-3)^2$%, где $%z$% -- параметр. Понятно, что каждое такое сечение есть либо круг, либо точка, либо пустое множество.

Вообще, само по себе трёхмерное пространство ничем особым не выделяется. Это отражает всего лишь набор сложившихся у нас привычек. Рассматривая сечения, можно изучать свойства пространств любой размерности. Топологи обычно именно так и поступают.

ссылка

отвечен 16 Фев '13 0:26

Уточнение по знакам, разумеется, справедливо. Для "плоского" школьника значения x, y - это координаты, в которых он живёт, но я ("плоский") не понимаю значение параметра z и почти уверен, что среднестатистический школьник тоже будет обуреваем сомнениями: "Значит, z - это тоже какая-то мифическая координата, которую от меня хотят скрыть или, точнее, подспудно, тайком навязать её мне? Почему, в таком случае, x, y не являются параметрами? Учитель САРДАМОН III всегда подчёркивал фундаментальность координаты, а пришелец @falcao уравнивает значения параметра и координаты! Пусть пояснит нам это!"

(16 Фев '13 16:39) nikolaykruzh...

В данном случае $%z$% -- это действительно параметр. И таких параметров можно рассматривать сколько угодно. Напишите любое уравнение с каким угодно числом параметров. Например, $%axy+bx^3+cxyz+3dyz^2=13$%. Их смысл -- просто коэффициенты в уравнении. Деление на переменные и параметры сугубо произвольно. Здесь просто не надо пытаться свести смысл коэффициентов к чему-то ранее известному и привычному.

(16 Фев '13 22:10) falcao

Уважаемый землянин! Вы считаете z параметром для нас, неполноценных живых существ, а для себя Вы приняли это третьей координатой! САРДАМОН III, к которому мы обратились с этим вопросом, ответил, что землянин снисходительно считает нас не достойными своего внимания, поэтому не хочет сказать что-то по существу. Ясно, что параметр -понятие не философское, а координата - ещё какое! Если бы у нас была координата z, мы не обратились бы к Вам со своим пустяковым, по Вашему мнению, вопросом. z - это не просто коэффициент, поскольку он равноправен с x,y. Извините нас за несговорчивость.

(17 Фев '13 9:52) nikolaykruzh...

"Плоским" существам ничто не мешает считать $%z$% третьей "координатой". Ведь когда представляю себе $%7$%-мерное пространство, я делаю ровно то же самое. В статистической физике рассматриваются системы из $%N$% молекул, где $%N$% -- большое число. С молекулой связано $%6$% параметров: три координаты её положения и три координаты вектора скорости. Получается $%6N$%-мерное пространство, где можно рассматривать движение одной точки. Иногда такой подход бывает удобен. Можно также смотреть фильм на "плоском" экране и прекрасно понимать, что происходит. Всё это не более чем способы описания.

(17 Фев '13 10:13) falcao

"Плоским" существам ничто не мешает считать z третьей "координатой", утверждаете Вы. Значит, всё-таки у нас теперь уже, по Вашему мнению,z - не параметр, а координата. Т. е. мы равноценны с вами. Но это же не так! Экскурс в статистическую физику нам тоже не совсем понятен, т. к. нам даже третью координату трудно представить. Выходит, к ней просто надо привыкнуть - и всё?! Не задумываясь о её сути. Наш САРДАМОН III требует от нас осмысливать всё, что мы видим вокруг. а Вы предлагаете нам привыкнуть к миру вокруг нас без мыслительной работы. У вас там учителя не такие, как наш САРДАМОН III.

(17 Фев '13 16:22) nikolaykruzh...
1

Число $%z$% можно считать параметром, а можно считать координатой в $%{\mathbb R^3}$%. Слова о том, что "к ней надо просто привыкнуть" -- это и есть ровно то, что я хотел сказать. Или можно сказать другими словами: научиться работать с новыми вещами. Математики долгое время отказывались признать 0 "полноценным" числом, а потом просто приняли это, и успокоились. То же было с комплексными числами, где долго видели "мистику". Процесс осмысления, который не даёт никаких "плодов", не углубляет уровень понимания и т.п. -- по большому счёту, никому не нужен. А за словом "суть" всегда стоит ОПЫТ.

(17 Фев '13 16:42) falcao

Почему Вы отождествляете мыслительная работу с необходимостью представить наглядно объект? Как раз наоборот, изучение объектов, которые представить нельзя, требует особенно большой и серьезной мыслительной работы. И без привыкания (то есть создания собственной абстрактной реальности) проделать ее невозможно.

(17 Фев '13 16:57) DocentI

"И на мостике горбатом Повстречались братец с братом". Я вижу, что Вы не пойдёте по пути, куда я Вас толкаю. А что я имею в виду? САРДАМОН III сказал бы своим ученикам: "Чтобы нам изобразить шар в нашем пространстве, надо дать его проекции на три плоскости: XY, XZ,YZ. Z - это координата, которой у нас нет. Но её можно ввести на плоскости и обращаться с нею так, как будто она у нас есть. Ну, а то что землянин @falcao говорит насчёт мнимых плодов, не имеющих семян, - это от нежелания своим пониманием поделиться с другими". Ссылка на ОПЫТ весьма существенна. Наш ОПЫТ и их ОПЫТ - очень разнятся!

(17 Фев '13 17:04) nikolaykruzh...

Это все частности, которые могут только отчасти упростить ту работу привыкания, о которой мы тут говорим. Они нисколько не помогут чтобы представить себе гильбертово или, тем более, банахово пространство.
Для меня все это - только попытка отсрочить то взросление, о котором мы говорит.

(17 Фев '13 17:52) DocentI

@nikolaykruzh... Дело в том, что если понятие трёхмерного шара уже есть, то с ним работать нужно так же, как это делаем мы, когда рисуем чертежи на плоскости. А если оно ещё не сформировано (я именно так понял задачу про "плоских" существ), то проектировать на плоскость пока ещё нечего. Сформировать же понятие такого шара можно, считая его параметрическим семейством плоских фигур.

(17 Фев '13 18:57) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

Почитайте научно-популярно-фантастические книги "Флатландия" и "Сферландия", там эти вопросы хорошо раскрыты.

ссылка

отвечен 16 Фев '13 0:35

Книги эти я не читал. Может, поэтому я упрям до неприличия. Но если Вы читали, в двух словах убедили бы меня в своей правоте. Или Вы прочитали и - привыкли к их содержанию? Слово "привыкать" меня чуточку страшит. За ним нет мыслительной работы (бесплодной - по убеждению @falkao). Мозг - существо своеобразное. Почему он упрямится? Или почему он соглашается? Какие слова надо найти, чтобы склонить его на, хотя бы, компромисс? Сколько копий ломается - ВПУСТУЮ! Всё из-за его упрямства. Кажется, что он в такие минуты является чем-то самостоятельным и не зависимым от нашей воли... М-да-а-а...

(17 Фев '13 18:06) nikolaykruzh...

Книги написаны на популярном уровне. В первой действие происходит на плоскости, там идет своя жизнь и вдруг к ним в гости приходит Сфера, которую они воспринимают как окружность переменного радиуса. Она пытается объяснить жителям, что такое третье измерение. Например, переворачивает фигуру, вынеся ее из плоскости.
Вторая часть посвящена идее искривленного пространства (плоскость оказывается сферой).
Посмотрите в интернете, книжки старые, наверное, уже выложены в сеть.

(17 Фев '13 21:24) DocentI

Вы всё время стараетесь подчеркнуть своё превосходство. У Вас, наверное, нордический характер и особый склад черепа. Есть математики,которые занимаются только математикой. Они не видят ничего вокруг. Есть такие, кто ценит себя в математике и ревниво относятся к своему имиджу. И есть те, кто не может терпеть математических бездарностей. Эти культово любят свой предмет и ценят только тех, кто понимает математику, - остальных просто не замечают и не считают их за людей. Это математисты, они сродни коммунистам, вохаббитам и т. д. - идейным смертникам. Вы - из числа самой первой группы. Нравится?

(17 Фев '13 23:05) nikolaykruzh...

Смелое заявление! Просто мне не нравится, когда дилетанты забираются в сложные вопросы. Толку не будет, и объяснить что-то сложно.
И при чем тут превосходство? Просто, это разные типы мышления.
Ну, например, есть религиозные люди, а есть неверующие. Кто превосходит кого?

(17 Фев '13 23:54) DocentI

Сложно объяснить - от чувства превосходства: буду я ещё время тратить на эту бездарность! Это, думаю, от великой любви к людям. Забираться в сложные вопросы - это личное дело дилетанта. Почему Вас это возмущает? Потому что очень любите людей! Ну, это уже не математика...

(18 Фев '13 19:01) nikolaykruzh...

Нельзя объяснить сложную вещь в отрыве от других, тоже сложных, вещей. Это все равно, что переводить текст с помощью машинного переводчика: каждое слово вроде и правильно, а вместе - белиберда.
Если Вы хотите разобраться в сложных вопросах - читайте профессиональные книги. Ну, а для первого ознакомления вполне подходят те книги, которые я Вам порекомендовала.
И, главное, в ваших вопросах обычно непонятна цель: а зачем все это?

(18 Фев '13 19:44) DocentI

Интересно, уважаемая @DocentI! Я задаю себе вопрос: "А если бы я был плоский, как я должен был бы представить себе мяч?" Отвечаю: я проколол бы его, спустил воздух и получил бы ответ на свой вопрос. Но это чисто бытовой ответ. А какой ответ должен быть математический? И выношу его на общее обсуждение. У Вас сразу же - встречный вопрос: "А зачем всё это?" И мне непонятна цель этого Вашего вопроса. Потому что Вы знаете, что вопросы задают из интереса. Или, может, у Вас есть другое объяснение этого казуса? Студенты Вам задают вопросы? Какие тайные пружины руководят ими, как Вы думаете?

(18 Фев '13 22:19) nikolaykruzh...

Ответ на все Ваши вопросы очень простой: посмотрите, сколько участников форума отвечают Вам. Особенно из "стареньких"?

Вполне возможно, что Вам было интересно задать этот вопрос. Но интересно ли остальным отвечать?

Еще раз повторяю: самый лучший ответ на Ваш вопрос содержится в книге "Флатландия". Почитайте. От этого будет больше толку, чем спорить тут с нами.

(18 Фев '13 22:56) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×652

задан
15 Фев '13 22:54

показан
991 раз

обновлен
27 Фев '13 11:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru