Вычислить $%\int_\gamma\frac{dz}{(z-2017)(z^{2017}-1)}$%

$%\gamma=\{|z|=2\}$%

задан 26 Сен '17 3:24

изменен 26 Сен '17 3:24

Воспользуйтесь теоремой о полной сумме вычетов функции с конечным числом особенностей.

(26 Сен '17 7:57) Амфибрахий

Т.е. интеграл равен $%-2\pi i\times res_\infty$%? И как проще всего вычилсить тут вычет в бесконечности?

(26 Сен '17 8:10) Slater

А куда пропал полюс в точке 2017?

(26 Сен '17 15:09) Амфибрахий

$%-2\pi i(res_\infty+res_{2017})$%

2017 - простой полюс, и тут понятно, как считать вычет. А в $%\infty$%?

(26 Сен '17 16:01) Slater

В бесконечности вычет равен 0.

(26 Сен '17 17:13) Амфибрахий

Почему? Как его просто посчитать?

(27 Сен '17 0:39) Slater

сделайте замену w=1/z в подынтегральной функции... и разложите в ряд...

(27 Сен '17 1:00) all_exist

@all_exist: а с какой целю вообще надо находить вычет в бесконечности? Почему нельзя просто применить теорему Коши о вычетах в полюсах, расположенных на единичной окружности? Или имеется в виду, что "наоборот" считать проще, потому что там всего одна особенность?

(27 Сен '17 1:25) falcao

@falcao, в полюсах, расположенных на единичной окружности? - дык, их там 2017 штук... Или имеется в виду, что "наоборот" считать проще - вестимо...

(27 Сен '17 1:30) all_exist

Имеется в виду применение формулы http://funkyimg.com/i/2xHGN.png ?

Получается $%\frac{z^{2016}}{(1-2017z)(1-z^{2017})}$%, эта функция голоморфна в 0, значит вычет в нуле 0. Значит вычет в бесконечности у исходной тоже ноль. Верно?

(27 Сен '17 1:44) Slater

@all_exist: я только по ходу дела это сообразил, потому что точек там хотя и много, но они расположены симметрично, и такого рода выражения обычно считаются. Где-то летом была задача на подсчёт такого характера (вроде бы, откуда-то с Международной олимпиады).

(27 Сен '17 1:49) falcao

Ответ получается $%-2\pi i \frac{1}{2017^{2017}-1}$%?

(27 Сен '17 20:42) Slater
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
26 Сен '17 3:24

показан
195 раз

обновлен
27 Сен '17 20:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru