Приведите комбинаторное доказательство равенства (F - число фибоначи) sum(0<=k<=(n+1)/2) от (C_(k)_(n - k + 1) = f(n + 2) - f - число фибоначи

задан 26 Сен '17 4:58

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь, как я понимаю, начальные члены выбираются по принципу $%F_0=0$%, $%F_1=1$%, то есть как здесь. Тогда формула из условия становится верной.

Для начала надо самим числам Фибоначчи придать комбинаторный смысл. Можно основываться на факте, что $%F_{n+2}$% (при выбранном способе нумерации) есть число подмножеств $%n$%-элементного множества, не имеющих соседних элементов. Это довольно стандартная вещь, проверяемая по индукции. То же самое -- число двоичных последовательностей длиной $%n$%, не имеющих соседних единиц.

Подсчитаем эту же величину другим способом, исходя из последнего толкования. Число единиц в последовательности обозначим через $%k$%. Ясно, что $%0\le k\le\frac{n+1}2$%. При фиксированном $%k\ge1$% поступаем так: для всех единиц, кроме последней, следующее число равно нулю. Вычеркнем эти нули в количестве $%k-1$% штуки. Останется $%n-k+1$% член, среди которых $%k$% единиц. Таких последовательностей $%C_{n-k+1}^k$%. Для каждой из них можно однозначно вернуться назад, вписав нули после каждой из единиц кроме самой последней. При $%k=0$% эта же формула также даёт верный результат, равный единице. Остаётся просуммировать сочетания.

ссылка

отвечен 26 Сен '17 19:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,300

задан
26 Сен '17 4:58

показан
1100 раз

обновлен
26 Сен '17 19:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru