В варианте олимпиады 7 задач, каждая оценивается в 8 баллов. По результатам проверки все участники набрали разное число баллов. Члены оргкомитета втихаря исправили оценки 0 на 6, 1 на 7, 2 на 8. В результате этого участники упорядочились в точности в обратном по- рядке. Какое наибольшее количество участников могло быть? Приведите пример и докажите, что большее число участников невозможно.

задан 27 Сен '17 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Построим пример для 8 участников, и далее докажем, что 9 и более быть не могло.

Пусть i-й участник (1<=i<=8) набрал 3 балла за 8-i задач и 0 баллов за остальные i-1. Тогда разрыв между соседними участниками составит 3 балла. После переоценки к баллам i-го участника будет добавлено 6(i-1), и теперь уже разрыв снова будет равен 6-3=3 баллам, но в другую сторону. Было 0 < 3 < ... < 21; стало 21 < 24 < ... < 42.

Поскольку каждый опередил предыдущего, он набрал больше дополнительных баллов по сравнению с ним. Но это количество кратно 6, и равно 6 умножить на количество "слабо" решённых задач (не более 2 баллов). Поскольку "премиальные" самого последнего не превышают 42, то промежутков между соседними участниками окажется не больше 7, а самих участников не больше 8.

ссылка

отвечен 27 Сен '17 3:12

1

@falcao, большое спасибо! Можно ещё не по разрывам рассуждать, а так:

Тот, у кого общая оценка не изменилась, может быть только единственным (если есть двое, то они не поменяются местами после того как...). Тот, у кого оценка поднялась на 6, тоже может быть только единственным (по той же самой причине).... ну и так далее... И тот, у кого оценка выросла на 42, тоже может быть только единственным. Таким образом, участников не более 8. Ну а пример строится легко!

(27 Сен '17 12:23) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
27 Сен '17 0:19

показан
387 раз

обновлен
27 Сен '17 12:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru