Требуется вычислить интеграл $%\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{1+x}dx$% с помощью вычетов. $%0< p< 1$%

Это сделано на странице 223, пример 7.20 здесь http://www.baileyworldofmath.org/uploads/Schaums-outline-complex-variables.pdf

(В предположении, что ничего неизвестно про всякие теоремы о монодромии и выделение регулярных ветвей многозначных функций):

1) Правильно ли я понимаю, что под $%z^{p-1}$% разумеется $%e^{(p-1)\ln z}$% где $%\ln z$% -ветвь логарифма, такая что $%\ln z= \log_e|z|+i\theta,\ 0 < \theta < 2\pi$%? И тогда эта ветвь логарифма, а следовательно, и степенной функции, голоморфна при $%\{|z|>0, 0 <\arg z< 2\pi\}$%? И именно поэтому контур выбран именно такой?

2) Можно было бы вместо этого взять контур с разрезом слева и главную ветвь логарифма? Ничего бы не изменилось?

3) В длинной формуле поле "Thus we have" можно поподробнее объяснить, почему третий интеграл такой? (Внизу есть пояснение, но хотелось бы его расширить)

задан 27 Сен '17 2:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно посмотреть ещё тут Шабунин и Ко стр 237 и далее - теория... на стр. 239 - сам пример...

Про логарифм - наверное можно и так...

2) Можно было бы вместо этого взять контур с разрезом слева и главную ветвь логарифма? Ничего бы не изменилось? - тогда Вы не получите интеграл, который вычисляете...

можно поподробнее объяснить, почему третий интеграл такой? - а что тут непонятного?... границы написали в соответствии с направлением обхода... переменную взяли на нижнем краю разреза, то есть с аргументом $%2\pi$%... вот и всё...

ссылка

отвечен 27 Сен '17 20:06

Пример в Шабунине читал, именно поэтому подчеркнул, что знаний о выделении регулярных ветвей не имеется (он там это использует).

Про "наверное можно и так" - имеется в виду, что рассуждения в 1) верные?

(27 Сен '17 20:36) Slater

Честно говоря, я уже не помню всех подробностей... но такое поскольку равенство такое есть, то и ветви должны совпадать...

(27 Сен '17 20:55) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×378

задан
27 Сен '17 2:13

показан
368 раз

обновлен
28 Сен '17 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru