|
Вообще не понятно, как делать (алгебра). Найдите наибольшее значение выражения $$x^{2}+2y^{2}$$ если $$x^{2}-xy+2y^{2}=1$$ задан 16 Фев '13 14:37 
SenjuHashirama |
|
Выражение $%x^2+2y^2$% здесь достигает максимума тогда, когда это же справедливо относительно $%xy$% (так как их разность постоянна). Применим неравенство $%2ab\le a^2+b^2$% при $%a=x$%, $%b=\sqrt{2}y$%. Получим $%2\sqrt{2}xy\le x^2+2y^2=1+xy$%, откуда $%xy(2\sqrt{2}-1)\le1$%. Тем самым, $$xy\le\frac1{2\sqrt{2}-1}=\frac{2\sqrt{2}+1}7.$$ Наибольшее значение здесь достигается при $%a=b$%, то есть при $%x=\sqrt{2}y$%. Тем самым, $$x^2+2y^2=1+xy\le\frac{2\sqrt{2}+1}7+1=\frac27(4+\sqrt{2}).$$ Это значение достигается в некоторой точке, и оно будет наибольшим. отвечен 16 Фев '13 14:59 
falcao |
|
$$x^2-xy+2y^2=1\Rightarrow x=\frac12\left(y\pm\sqrt{4-7y^2}\right)$$ $$x^2+2y^2=1+xy=1+\frac y2\left(y\pm\sqrt{4-7y^2}\right)=1+\frac{y^2}2\pm\sqrt{1-\frac74y^2}$$ Нам надо найти наибольшее значение, так что вариант с минусом перед корнем сразу отсеиваем: $$x^2+2y^2=1+\frac{y^2}2+\sqrt{1-\frac74y^2}$$ Осталось только найти максимум функции от одной переменной. Так же эту задачу можно было попробовать решить геометрически: ввести замену $%z=\sqrt2y$% и найти максимум функции $%x^2+z^2$%, а это точка, наиболее удаленная от центра координат. График второго уравнения будет эллипсом. Естественно, так мы найдем только приближенное значение, да и построить график эллипса будет не так уж легко. отвечен 16 Фев '13 14:59 
chameleon |