Вообще не понятно, как делать (алгебра). Найдите наибольшее значение выражения $$x^{2}+2y^{2}$$ если $$x^{2}-xy+2y^{2}=1$$

задан 16 Фев '13 14:37

изменен 16 Фев '13 16:19

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
3

Выражение $%x^2+2y^2$% здесь достигает максимума тогда, когда это же справедливо относительно $%xy$% (так как их разность постоянна).

Применим неравенство $%2ab\le a^2+b^2$% при $%a=x$%, $%b=\sqrt{2}y$%. Получим $%2\sqrt{2}xy\le x^2+2y^2=1+xy$%, откуда $%xy(2\sqrt{2}-1)\le1$%. Тем самым, $$xy\le\frac1{2\sqrt{2}-1}=\frac{2\sqrt{2}+1}7.$$

Наибольшее значение здесь достигается при $%a=b$%, то есть при $%x=\sqrt{2}y$%. Тем самым, $$x^2+2y^2=1+xy\le\frac{2\sqrt{2}+1}7+1=\frac27(4+\sqrt{2}).$$ Это значение достигается в некоторой точке, и оно будет наибольшим.

ссылка

отвечен 16 Фев '13 14:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из непосредственно проверяемого тождества $$x^2+2y^2=\frac{2 \sqrt2}{2 \sqrt2 - 1}(x^2-xy+2y^2)-\frac{1}{2 \sqrt2 - 1}(x-y \sqrt2)^2$$ следует, что наибольшее значение достигается при $%x = y \sqrt2$% и равно $%\frac{2 \sqrt2}{2 \sqrt2 - 1}$%.

ссылка

отвечен 16 Фев '13 14:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$x^2-xy+2y^2=1\Rightarrow x=\frac12\left(y\pm\sqrt{4-7y^2}\right)$$ $$x^2+2y^2=1+xy=1+\frac y2\left(y\pm\sqrt{4-7y^2}\right)=1+\frac{y^2}2\pm\sqrt{1-\frac74y^2}$$ Нам надо найти наибольшее значение, так что вариант с минусом перед корнем сразу отсеиваем: $$x^2+2y^2=1+\frac{y^2}2+\sqrt{1-\frac74y^2}$$ Осталось только найти максимум функции от одной переменной.


Так же эту задачу можно было попробовать решить геометрически: ввести замену $%z=\sqrt2y$% и найти максимум функции $%x^2+z^2$%, а это точка, наиболее удаленная от центра координат. График второго уравнения будет эллипсом. Естественно, так мы найдем только приближенное значение, да и построить график эллипса будет не так уж легко.

ссылка

отвечен 16 Фев '13 14:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,633
×1,019

задан
16 Фев '13 14:37

показан
1564 раза

обновлен
16 Фев '13 16:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru