Угол В в треугольнике АВС равен 170 градусов. АА1 и СС1- биссектрисы треугольника АВС. Точки К и L выбраны на стороне АС так, что угол АВК= углу СВL=160 градусов. Чему равен угол между прямыми КА1 и LС1? В ответе запишите значение искомого угла в градусах (только число).

задан 27 Сен '17 20:52

изменен 27 Сен '17 21:57

1

Судя по характеру вопроса, особенно окончания вопроса, задача из дистанционного тура онлайн олимпиады

(27 Сен '17 21:44) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
0

По известному свойству биссектрисы, отношение $%BA_1:A_1C$% равно отношению длин сторон $%BA:AC$%. По теореме синусов, последнее отношение равно отношению синусов противолежащих углов, то есть $%\sin\angle C:\sin170^{\circ}=\sin\angle C:\sin10^{\circ}$%. Заметим, что угол $%KBC$% равен $%170^{\circ}-160^{\circ}=10^{\circ}$%, поэтому мы получили отношение синусов двух углов треугольника $%KBC$%. Значит, это отношение в силу той же теоремы синусов равно $%KB:KC$%. Тогда получается, что $%KA_1$% делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон. Значит, это биссектриса угла при вершине $%K$% (обратное свойство биссектрисы также верно).

Величина угла $%BKC$%, по свойству внешнего угла, равна сумме величин двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть $%160^{\circ}+\angle A$%. Угол $%A_1KC$% равен половине этой величины, то есть $%80^{\circ}+\frac12\angle A$%. Смежный с ним угол $%A_1KL$% равен $%100^{\circ}-\frac12\angle A$%.

Из соображений симметрии, угол $%C_1LK$% равен $%100^{\circ}-\frac12\angle C$%. Угол между прямыми $%KA_1$% и $%LC_1$% равен третьему углу треугольника $%KLM$%, где $%M$% -- точка пересечения этих прямых. Заметим, что $%\angle A+\angle C=180^{\circ}-\angle B=10^{\circ}$%. Поэтому оба угла $%A_1KL$% и $%C_1LK$% тупые, и их сумма равна $%200^{\circ}-\frac12(\angle A+\angle C)=195^{\circ}$%. Значит, искомый угол равен $%195^{}-180^{\circ}=15^{\circ}$%.

ссылка

отвечен 27 Сен '17 22:15

Спасибо огромное!

(27 Сен '17 22:47) Пелагея
1

@falcao. Следуя просьбе заказчика, ответ должен быть 15. (только число)

(27 Сен '17 23:44) nynko

@nynko: это верно, но я рассказал решение задачи, а указание ответа в заданном формате в мои "полномочия" не входит.

(27 Сен '17 23:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,704

задан
27 Сен '17 20:52

показан
529 раз

обновлен
27 Сен '17 23:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru