|
Есть функция $%f(x)=x^{0.85}$%. Надо найти функцию $%g(x)$%, аппроксимирующую данную с точностью хотя бы до 10% при иксах от 10 до 10000. Надо, чтоб функцию $%g(x)$% можно было легко запомнить и вычислить устно, т.е. она должна состоять из констант, имеющих не больше 2 значащих цифр, целых степеней $%x$% и арифметических операций. Также возможно (но не желательно) применение операции извлечения квадратного корня. Всего должно быть не больше 20 операций, а желательно - намного меньше. задан 16 Фев '13 18:07 
chameleon |
|
Вот такие можно предложить эмпирически найденные формулы для приближённого вычисления $%f(x)$%: это $%x/2+2$% на $%[10^1,10^2)$%, далее $%x/3+20$% на $%[10^2,10^3)$% и, наконец, $%x/4+120$% на $%[10^3,10^4]$%. Формулы эти просто запомнить, и по ним легко считать устно. Точность приближения -- порядка $%6\%$%. отвечен 17 Фев '13 9:24 
falcao Идеально! Вот бы еще на границах не было точек разрыва... Но это не так важно, да я и сам это исправлю, если что. Честно говоря, и не подозревал, что это можно решить так просто и изящно ))
(17 Фев '13 10:41)
chameleon
Точек разрыва на "стыках", конечно, можно легко избежать. Я выбирал самые легко запоминающиеся коэффициенты. Там на самом деле "запас прочности" большой, и можно в каких-то пределах менять параметры. Меня тоже приятно удивили формулы. Особенно это касается угловых коэффициентов.
(17 Фев '13 11:07)
falcao
|
|
Ряды Тейлора для такой функции (при разложении вблизи какой-нибудь точки, отличной от нуля) содержат "нехорошие" коэффициенты. В принципе, можно надеяться на то, что их удастся как-то округлить. Но сам получившийся многочлен должен иметь не слишком большую степень. Я взял в Maple разложение вблизи точки $%x=1$% и "обрезал" ряд до многочлена степени $%9$%, далее сравнивая его значения со значениями функции $%f$%. Уже при $%x=3$% точность получается плохая. Если взять разложение вблизи $%10$%, то эффект получается примерно тот же, то есть при $%x$% порядка $%30$% точность приближения уже неудовлетворительна. Но сама задача вообще-то выглядит интересно. отвечен 16 Фев '13 22:26
falcao |