Десятичная запись квадрата натурального числа состоит из одной двойки и $%k-1$% единицы, записанных в некотором порядке. Докажите, что $%k$% не делится на 11.

задан 29 Сен '17 1:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку квадрат не может оканчиваться на $%11$%, то наше число имеет вид $%\frac{10^k-1}9+10=\frac{10^k+89}9$%. Число $%10^k+89$% также квадрат.

Для чётных $%k>2$% число $%10^k+89$% не может быть квадратом: ($%10^{k/2}+1)^2>10^k+89>10^k$%.

Для нечётных $%k>3$% число $%10^k+89$% делится на $%11$%, поэтому число $%10^k+89$% должно делиться на $%121$%, то есть $%121\cdot x=10^k+89$% для некоторого целого $%x$%.

Последовательно вычисляя цифры числа $%x$% справа налево, выполняя умножение "столбиком", получим сначала разные цифры, но затем цифры повторяются:

$%121\cdot88888373553719009=10755493200000000089$%, $%121\cdot888888373553719009=107555493200000000089$%, $%121\cdot8888888373553719009=1075555493200000000089$%, $%121\cdot88888888373553719009=10755555493200000000089$% $%121\cdot888888888373553719009=107555555493200000000089...$%

Поэтому исходным числом может быть только $%121$%.

ссылка

отвечен 29 Сен '17 10:52

изменен 29 Сен '17 21:39

@EdwardTurJ, большое спасибо!

(29 Сен '17 11:34) Аллочка Шакед
1

$%10^{22k+3}+89$% конечно же на $%121$% делится. Впрочем, для решения исходной задачи этого достаточно. А вот то, что $%121$% - единственный такой квадрат придется еще потрудиться.

(29 Сен '17 15:44) spades
1

@spades: Я не прав, $%10^k+89$% может делиться на $%121$%. Сейчас допишу решение.

(29 Сен '17 21:21) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: а можно пояснить концовку? По какому принципу составлены эти равенства, и что из них следует?

Я пытался доказать, что кроме 121 среди чисел 1...121 нет квадратов, но у меня не получилось.

(29 Сен '17 22:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,034
×826
×238
×143
×123

задан
29 Сен '17 1:30

показан
263 раза

обновлен
29 Сен '17 22:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru