Найдите f(f(...f(6)...)) (n вложений) f(x) = x/5 + 4

Я побаловался немного с функцией, нашел зависимость, доказал через индукцию формулу для x и n:

x/(5^(n)) + 4( 1/(5^(n-1) + 1/(5^(n-2)) + ... + 1/5 + 1)

Осталось подставить x = 6;

А ответ автора: 5 + (1/5)^n Как можно мой ответ так преобразовать?

задан 29 Сен '17 18:14

изменен 29 Сен '17 18:16

сумма геометрической прогрессии Вам в помощь...

(29 Сен '17 18:20) all_exist

@all_exist точно, а я не заметил. Давно по этой теме не решал задач(

(29 Сен '17 18:39) fsdSSSS
10|600 символов нужно символов осталось
0

Несколько общий замечаний по этой задаче.

Допустим, есть функция g(x)=kx. Тогда понятно, что n-я итерация её применения даёт k^{n}x. В данном случае удобно рассмотреть сдвиг координаты, для которого будет верно f(x)-a=(x-a)/5. Ясно, что f(f(x))-a=(f(x)-a)/5=(x-a)/25, и так далее.

Осталось подобрать константу a из условия f(x)=x/5+4=(x-a)/5+a=x/5+4a/5, то есть a=5. Тогда f^{[n]}(x)-5=(x-5)/5^n, и при x=6 получится n-я итерация f^{[n]}(6)=5+5^{-n}.

ссылка

отвечен 29 Сен '17 20:12

Интересный и хитрый прием... может еще подобные задачи знаете? :D

(2 Окт '17 20:43) fsdSSSS

@fsdSSSS: фактически, это вариант известной задачи о рекуррентных соотношениях. Пусть вместо функции имеется последовательность типа a_{n+1}=3a_n+2, где начальное значение a_0 дано. Требуется найти формулу общего члена. Легко заметить, что a_{n+1}+1=3(a_n+1), откуда понятно, что для a_n+1 всё утраивается. Значит, a_n=3^n(a_0+1)-1, и тому подобное. Для соотношений более общего вида есть общая теория и общие формулы.

(2 Окт '17 22:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
29 Сен '17 18:14

показан
195 раз

обновлен
2 Окт '17 22:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru