Можно ли как-то быстро решить систему уравнений: $% \begin{cases} a^2=b+1, \\ b^2=c+1,\\ c^2=d+1, \\ d^2=a+1. \end{cases} $%

задан 29 Сен '17 18:23

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим монотонно возрастающую функцию $%f(x)=\sqrt{x+1}$% и будем пока искать неотрицательные решения, тогда $%a=f(b),b=f(c),c=f(d),d=f(a).$% Из монотонности $%f(x)$% следует, что все неизвестные должны быть равны. Действительно, если, например, $%a < b, $% то $%d^2=f(a) < f(b)=a^2, d < a,c^2=f(d) < f(a)=d^2, c < d, b^2=f(c) < f(d)= c^2, b < c $% $%< d < a < b -$% противоречие. Если одно из неизвестных отрицательно, то они все отрицательны, и проходит тот же фокус с $%f(x)=-\sqrt{x+1},$%

ссылка

отвечен 29 Сен '17 18:43

изменен 29 Сен '17 18:50

2

@Амфибрахий: такая схема работает, но надо учесть ещё тривиальные решения типа 0, -1, 0, -1.

(29 Сен '17 20:33) falcao
1

@Амфибрахий: спасибо! Этот метод понял, очень красиво :) А есть ли еще какие-то методы, которыми можно было бы ее решить?

(30 Сен '17 11:38) dolnikov

@dolnikov: наверное, да -- можно составить алгебраическое уравнение на a и исследовать, что при этом получится. Но такой способ сложнее, так как уместно использовать симметрию.

Ещё возможно что-то типа тригонометрических замен, но я этот способ не продумывал.

(30 Сен '17 15:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×281

задан
29 Сен '17 18:23

показан
147 раз

обновлен
30 Сен '17 15:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru