На доске написано: x^3 + ...x^2 + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого - получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

задан 29 Сен '17 18:35

Если выбор свободного члена оставить первому, то он победит, так как некоторые свои значения (меньшие некоторой константы) кубический многочлен принимает ровно один раз. Тогда первому остаются коэффициенты при x^2 и x, а это значит, что он полностью контролирует производную, и может сделать её положительной. Тогда любое значение, включая 0, принимается ровно раз.

(29 Сен '17 20:01) falcao

@falcao, да всё проще. Ему достаточно первым ходом занулить коэффициент при x^2.

(29 Сен '17 20:04) knop

@knop: почему достаточно? Ведь после этого придётся ещё играть правильно, чтобы не проиграть. В принципе, если первым ходом выбрать какой угодно коэффициент при x^2, то этого достаточно для выигрыша при последующей правильной игре.

(29 Сен '17 20:26) falcao

@falcao - ну в том смысле, что после этого уже все очевидно без привлечения соображения "он полностью контролирует производную". Хотя по существу Вы правы, конечно

(29 Сен '17 20:51) knop

@kipot_l - я правильно помню, что это задача с какой-то зональной олимпиады начала 90-х?

(29 Сен '17 20:51) knop

@knop, у Вас хорошая память. Задача из книги Агаханов Н. и др., "Всероссийские олимпиады, 1993-2006", №_21, 92-93 год, 11 класс. Печально то, что решение там длинное и кривое. Агаханова пора увольнять...

(30 Сен '17 8:33) kipot_l

@falcao, "хорошее" решение олимпиадной, да и любой задачи предполагает использование минимального набора орудий, желательно обходиться без слов "контролировать производную", "локальный минимум" и т.д.

(30 Сен '17 8:42) kipot_l

@kipot_l: задача мне показалась очень простой. Я решил её сходу, и кратко обрисовал основную идею в комментарии. Это замечание как бы "для специалистов". Здесь выигрыш достигается достаточно просто, особых препятствий нет. Адаптировать решение к знаниям школьников того или иного класса (если такая необходимость есть) -- дело второстепенное.

(30 Сен '17 9:50) falcao

@falcao, задача действительно простоватая, особенно для 11 класса.

Ваши идеи могут пригодиться, если дописать условие задачи примерно так: ...Рассмотреть все три варианта первого хода первого игрока.

(30 Сен '17 10:07) kipot_l
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Первый игрок всегда выигрывает, делая, например, такой первый ход:

x^3 + ...x^2 + x + ... = 0

На любой ход второго игрока первый отвечает "симметричным" ходом:

x^3 + ax^2 + x + a = 0

Многочлен в правой части раскладывается на множители:

(x^2 + 1)(x + a) = 0

Это уравнение имеет ровно один действительный корень при любом а.

ссылка

отвечен 30 Сен '17 8:52

изменен 30 Сен '17 9:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×16

задан
29 Сен '17 18:35

показан
321 раз

обновлен
30 Сен '17 10:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru