|
В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA'B'C'D'$$ с ребрами $$AB=3 , AD=7 , AA'=5\sqrt{2}$$ через диагональ $$BD'$$ проведена плоскость , пересекающая ребро $$AA'$$ так , что сечение параллелепипеда этой плоскостью имеет наименьший периметр. Найти этот периметр. задан 17 Фев '13 16:07 
SenjuHashirama |
|
Пусть $%X$% -- точка пересечения проведённой плоскости с ребром $%AA'$%. Легко понять, что в сечении получается параллелограмм. Его полупериметр равен $%BX+XD'$%. Рассмотрим грань $%AA'D'D$%, и развернём другую грань $%AA'B'B$%, чтобы она лежала в той же плоскости. Получаются два прямоугольника с общей стороной $%AA'$%. Ясно, что $%BX+XD'\ge BD'$%, и наименьшее значение достигается, если $%X$% лежит на прямой $%BD'$%. Далее находим эту длину по теореме Пифагора. У нас $%BD=BA+AD=3+7=10$% (на рисунке после разворота), $%DD'=AA'=5\sqrt{2}$%. Отсюда $%BD'=5\sqrt{6}$%, а периметр сечения в два раза больше, и он равен $%10\sqrt{6}$%. отвечен 17 Фев '13 17:05 
falcao Замечательно. Но нужна рассмотреть случаи когда плоскость пересекает $%AD$% или $%DC.$% Ответ будет другим.
(17 Фев '13 17:38)
ASailyan
Так ведь в условии сказано, какое именно ребро пересекает плоскость -- это $%AA'$%.
(17 Фев '13 18:25)
falcao
Я по привычке не дочитала, извиняюсь.
(17 Фев '13 18:31)
ASailyan
|
|
Введите прямоугольную систему координат. Выразите координаты всех точек. Присвойте точке, лежащей на АА' координаты - две будут известными, такими, как у точек А и А', третья - неизветсная. Вычислите периметр фигуры (он будет выражен через ту неизвестную), дальше - производная, равна нулю и т.д. отвечен 17 Фев '13 16:37 
Lyudmyla |