Известно, что для длин медиан $%AM_1$%, $%BM_2$%, $%CM_3$%, треугольника $%ABC$% справедливо: $%|AM_1| < a$%, $%|BM_2| < a$%, $%|CM_3| < a$%. Может ли быть, что $%S_{ABC}=\frac{2}{3}a^2+ \cos^2 a$%?

задан 30 Сен '17 11:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если x,y,z -- стороны треугольника, то квадрат длины медианы, проведённой к стороне z, равен (2(x^2+y^2)-z^2)/4. Если z -- наименьшая сторона, то z^2<=(x^2+y^2)/2, и квадрат длины медианы >=3(x^2+y^2)/8>=3xy/4>=3S/2, где S -- площадь. По условию задачи, S>=2a^2/3, откуда следует, что длина хотя бы медианы >=a -- противоречие.

ссылка

отвечен 30 Сен '17 15:52

falcao: а как решать задачу, если не медианы, а биссектрисы?

(30 Сен '17 18:16) voevodin

@voevodin: для биссектрис задача тоже решается, но там надо применить другие формулы. Квадрат длины биссектрисы к стороне z равен xy-uv, где основание биссектрисы делит сторону на части длиной u,v. Ясно, что uv<=(u+v)^2/4=z^2/4<=xy/4, откуда L^2>=3xy/4>=3S/2, и дальше всё то же самое.

(30 Сен '17 20:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
30 Сен '17 11:51

показан
207 раз

обновлен
30 Сен '17 20:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru