Конечно или бесконечно множество таких натуральных х, что х - квадрат, 2х - избыточное число, а 3х - треугольное число?

задан 30 Сен '17 13:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x=n^2, \, 3x=\frac{(m-1)m}2$%
$%24x=4m^2-4m=(2m-1)^2-1$%
$%(2m-1)^2-24n^2=1$%

Обозначим $%u=2m-1, \quad v=n$%
Решаем уравнение Пелля $%u^2-24v^2=1$%

$%u_1=5, \quad v_1=1$%
$%u_{k+1}= 5u_k+24v_k , \quad v_{k+1}=u_k+5v_k$%

Далее можно показать, что $%v_{3k}$% делится на 3. А значит соответствующее значение $%2x$% делится на $%6$% и является избыточным

ссылка

отвечен 30 Сен '17 14:53

@spades, большое спасибо!

(30 Сен '17 15:54) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
1

Достаточным условием избыточности числа является делимость на 6 (исключая само число 6, которое совершенно). В самом деле, если n=6k, то сумма собственных делителей 1+k+2k+3k уже превышает 6k.

Таким образом, достаточно делимости x на 3. Рассмотрим треугольное число вида 3m(3m+1)/2. Тогда нам достаточно, чтобы утроенное число было квадратом, что равносильно m(3m+1)=2n^2 для некоторого n. Уравнения такого рода обычно имеют бесконечно много решений в натуральных числах, подобно уравнениям Пелля.

Нам не требуется выявлять все решения, поэтому ограничимся случаем чётного m=2k. Тогда k(6k+1)=n^2. Потребуем, чтобы квадратами были оба сомножителя: k=u^2, 6k+1=v^2. Это даёт 6u^2+1=v^2. Пара (u,v)=(0,1) будет решением. Как обычно в таких случаях бывает, можно предъявить линейное преобразование, не меняющее форму v^2-6u^2. А именно, u->5u+2v, v->12u+5v. Прямая проверка показывает, что форма не меняется. Тогда применение этого преобразования к начальной паре даёт решения, причём ясно, что они не будут повторяться: (0,1)->(2,5)->(20,49)->(198,485)->... и так далее. Нам подходят такие пары (кроме самой первой), где первый элемент делится на 3, и таких пар бесконечно много. Действительно, по модулю 3 у нас числа выглядят так: (0,1)->(2,2)->(2,1)->(0,2)->(1,1)->(1,2)->(0,1)->... , и далее всё периодически повторяется. Для пар (u,v) с условием делимости u на 3, остаётся положить x=(uv)^2.

ссылка

отвечен 30 Сен '17 15:22

@falcao, большое спасибо!

(30 Сен '17 15:54) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
30 Сен '17 13:59

показан
413 раз

обновлен
30 Сен '17 15:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru