Докажите, что число а) корень11-корень3 б) корень2-корень3+корень5 не является рациональным

задан 30 Сен '17 22:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если $%r=\sqrt{11}-\sqrt3$% рационально, то в квадрате имеем $%r^2=14-2\sqrt{33}$%, и тогда $%\sqrt{33}=7-\frac12r^2$% также рационально, но это не так, поскольку 33 не есть точный квадрат.

Второй способ основан на рассмотрении обратного числа: $%\frac1r=\frac1{\sqrt{11}-\sqrt3}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt3}8$%. Тогда $%\sqrt3=\frac4r-\frac{r}2$% рационально выражается через $%r$%. Если бы $%r$% было рациональным, то и $%\sqrt3$% тоже оказалось таким, а это не так.

Для $%x=\sqrt2-\sqrt3+\sqrt5$% возведём в квадрат обе части равенства $%x+\sqrt3=\sqrt2+\sqrt5$%, получая $%x^2+3+2x\sqrt3=7+2\sqrt{10}$%. Дальше как в прошлом примере: $%x^2-4=2\sqrt{10}-2x\sqrt3$% возводим в квадрат, получая $%x^4-8x^2+16=40+12x^2-8x\sqrt{30}$%. Понятно, что $%x\ne0$%, и тогда $%\sqrt{30}$% рационально выражается в виде $%-\frac{x^4-20x^2-24}{8x}$% через $%x$%. Значит, $%x$% не может быть рациональным, так как из этого бы следовала рациональность $%\sqrt{30}$%.

ссылка

отвечен 30 Сен '17 23:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
30 Сен '17 22:16

показан
320 раз

обновлен
30 Сен '17 23:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru