Объясните, пожалуйста, почему это так:

alt text

задан 1 Окт '17 11:17

изменен 1 Окт '17 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что найдётся точка x вне образа f. Тогда расстояние r от x до f(K) положительно. Рассмотрим последовательность точек x, f(x), f(f(x)), ... и так далее. Проверим, что в ней нет сходящихся подпоследовательностей, что противоречит компактности. Расстояние от x до других членов последовательности не меньше r. Поскольку у нас изометрия, то любое расстояние между остальными парами точек равно расстоянию от x до некоторой другой точки (после взятия прообразов). Значит, все точки удалены здесь друг от друга на расстояние >=r, и сходиться никакая подпоследовательность не может.

ссылка

отвечен 1 Окт '17 14:22

@falcao: у меня остался лишь один вопрос: если у нас были бы сходящиеся подпоследовательности, то получилось бы, что $%K_0$% не содержало бы всех своих предельных точек, т.е не было бы замкнутым. Получили противоречие с замкнутостью, но не компактностью. А для просто ограниченных и замкнутых множеств утверждение задачи неверно, могу пример из $%l_2$% привести.

(1 Окт '17 14:58) stander

@stander: здесь используется компактность в том, что всякая ограниченная последовательность содержит сходящую подпоследовательность. Для замкнутых ограниченных множеств в общем случае это не так. И расстояние до некомпактного множества не всегда определено, но есть компактность используется ещё и в начале.

(1 Окт '17 20:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651

задан
1 Окт '17 11:17

показан
254 раза

обновлен
1 Окт '17 20:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru