$$\frac{1}{sin(x)} + \frac{1}{cos(x)}= \frac{1}{p} $$

Решить уравнение и определить количество решений при различных р

задан 17 Фев '13 18:02

1

Чтобы немного развлечь форумчан

(17 Фев '13 18:02) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Имеет бесконечное число решений при всех $%p\ne0.$% Решить можно подстановкой $%sinx+cosx=t\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}$%

При $%p\ne0$%, уравнение примет вид $%t^2-2pt+1=0\Leftrightarrow t=p\pm\sqrt{p^2+1}, $% $%t_1=p+\sqrt{p^2+1}, t_2=p-\sqrt{p^2+1}.$%

Заметим что $%t_1\ge0, t_2\le0, t_1 \cdot t_2=-1 $%

получаем совокупность $%\left[\begin{aligned} sinx+cosx=t_1\\ sinx+cosx=t_2 \end{aligned}\right. $% Следует иметь ввиду, что уравнение $%sinx+cosx=t$% не имеет решений при $%|t|> \sqrt2,$% а при $%|t|\le \sqrt2, x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z)$%

И так при $%p>\frac{1}{2\sqrt2}, t_1>\sqrt2, 0>t_2>-\sqrt2, $%, первое уравнение совокупности не имеет решений , а второе имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$% При $%p<-\frac{1}{2\sqrt2}, 0<t_1<\sqrt2, t_2<-\sqrt2, $%, второе уравнение не имеет решений , а первое имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$% А при $%-\frac{1}{2\sqrt2}\le p \le\frac{1}{2\sqrt2},(p \ne 0) 0 < t_1 \le\sqrt2, -\sqrt2\le t_2 <0 , $%, обе уравнения имеют решений , $%\left[\begin{aligned} x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k\\ x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k \end{aligned}\right.$%

Ответ. Не имеет решений(даже смысла), при $%p=0$%, a при $%p\ne 0 $%

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\le-\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии)

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% и $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%-\frac{1}{2\sqrt2}< p<\frac{1}{2\sqrt2}$%(4 разные серии)

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\ge\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии)

$%\pi/4+2\pi k$% и $%\pi/4\pm 2\pi/3+2\pi k $%, при $%p=\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии)

$%\pi/4\pm\pi+2\pi k$% и $%\pi/4\pm \pi/3+2\pi k $%, при $%p=-\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии,первые 2 отлычаются на $%2\pi$%)

ссылка

отвечен 17 Фев '13 18:23

изменен 18 Фев '13 2:00

Я имел ввиду количество серий корней: немного неудачно написал, но ответ все равно неверный.

(17 Фев '13 18:41) epimkin

Что здесь неверно?

(17 Фев '13 19:04) ASailyan

Прошу извинения у ASailyan. Эта задача была предложена на Международной математической олимпиаде в 60-70 годах(проводились в соцстранах). Я в ней сам не разбирался, решение ее есть и оно, получается неверное. Они тогда что, не умели задачи с параметрами решать? Сейчас попробую отсканировать и задание и решение и поместить сюда (если получится)

(17 Фев '13 20:02) epimkin

А как ответ принимается.А то получается я какой-то невежливый(там есть несколько непринятых вопросов)

(17 Фев '13 20:41) epimkin

Все правильно. Соответствует графика(см. внизу).

(17 Фев '13 23:07) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если речь идёт о количестве решений на всей прямой, то оно будет бесконечно из-за периодичности функций -- при условии, что решения для данного значения параметра вообще есть.

Функция $$f(x)=\frac1{\sin x}+\frac1{\cos x}$$ уже на интервале $%(\pi/2,\pi)$% принимает все вещественные значения. Это следует из того, что если $%x$% приближается справа к $%\pi/2$%, то первое слагаемое стремится к $%1$%, а второе -- к $%-\infty$%. Аналогично, если если $%x$% приближается слева к $%\pi$%, то первое слагаемое стремится к $%+\infty$%, а второе -- к $%-1$%. Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения из $%(-\infty,\infty)$%. Поэтому все $%p\ne0$% подходят, как и было сказано.

ссылка

отвечен 17 Фев '13 18:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нужно исследовать функцию $%y=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}:$%

1) Найти период.

2) Промежутки монотонности.

3) Вертикальные асимптоты.

4) Экстремумы функции.

График имеет вид alt text

После этого количество серий решений (в зависимости от параметра) определить несложно.

ссылка

отвечен 17 Фев '13 19:54

изменен 17 Фев '13 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Утверждение на рис. 3 о том, что оба корня $%z_1$% и $%z_2$% обязаны быть по модулю не больше, чем 1, неверно: достаточно, чтобы хотя бы один из них удовлетворял этому условию, а это имеет место при любых р, и достаточно исключить только р = 0.

ссылка

отвечен 17 Фев '13 20:38

изменен 17 Фев '13 20:39

Да, я уже сам решил это квадратное уравнение с параметром. Книжка вроде серьезная, правда старая

(17 Фев '13 20:40) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

alt text

alt text

ссылка

отвечен 17 Фев '13 20:17

изменен 17 Фев '13 23:38

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Загрузилось только так

(17 Фев '13 20:22) epimkin

Там ошибка в решении -- см. последнюю ссылку. Когда рассматриваются корни квадратного уравнения, то для существования решения достаточно, чтобы выполнялось условие $%z_1\le1$% ИЛИ $%z_2\ge-1$%. Совершенно не нужно, чтобы то и другое было одновременно. Поэтому нужно брать объединение, а не пересечение промежутков. Получается вся числовая прямая за исключением $%p=0$%. Задача эта не предлагалась на ММО -- она там идёт как из "запасника" жюри. Но всё равно странно, что в книгу проникла ошибка. Решение, конечно, там невероятно усложнённое -- то же самое делается почти без вычислений.

(17 Фев '13 20:41) falcao

Вот интересно, задача такой сложности предлагалась (или хотела предложиться) на ММО в 60-70 годах, а сейчас на ЕГЭ, по - моему предлагаются более сложные. Выпускники и абитуриенты стали умнее, их стали приравнивать к участникам тех олимпиад? Или еще что?

(17 Фев '13 21:21) epimkin

Ну, задача С6 точно олимпиада. Да и С5 трудная. А вообще-то наблюдение верное: те старые задачи теперь предлагают при подготовке к областной олимпиаде, а отнюдь не международной. Как говорится, мы стоим на плечах гигантов.

(17 Фев '13 21:54) DocentI
1

Лет еще через 50 С6, наверное будет задача "Доказать гипотезу Пуанкаре или что-то типа этого

(17 Фев '13 22:07) epimkin

Как принять ответ? Процедура ?

(18 Фев '13 1:48) epimkin

В исследовании серий решений тоже есть ошибка. А что касается принимания ответа. Если вы хотите принять какой-то ответ, то нажимайте на галочку в верхнем левом углу ( она зеленеет). У Вас уже 4 не принятых ответов.Последный приняли в ноябре.Видно забыли как это делается.

(18 Фев '13 2:13) ASailyan
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×599

задан
17 Фев '13 18:02

показан
1578 раз

обновлен
18 Фев '13 2:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru