$$\frac{1}{sin(x)} + \frac{1}{cos(x)}= \frac{1}{p} $$ Решить уравнение и определить количество решений при различных р задан 17 Фев '13 18:02 epimkin |
Имеет бесконечное число решений при всех $%p\ne0.$% Решить можно подстановкой $%sinx+cosx=t\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}$% При $%p\ne0$%, уравнение примет вид $%t^2-2pt+1=0\Leftrightarrow t=p\pm\sqrt{p^2+1}, $% $%t_1=p+\sqrt{p^2+1}, t_2=p-\sqrt{p^2+1}.$% Заметим что $%t_1\ge0, t_2\le0, t_1 \cdot t_2=-1 $% получаем совокупность $%\left[\begin{aligned} sinx+cosx=t_1\\ sinx+cosx=t_2 \end{aligned}\right. $% Следует иметь ввиду, что уравнение $%sinx+cosx=t$% не имеет решений при $%|t|> \sqrt2,$% а при $%|t|\le \sqrt2, x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z)$% И так при $%p>\frac{1}{2\sqrt2}, t_1>\sqrt2, 0>t_2>-\sqrt2, $%, первое уравнение совокупности не имеет решений , а второе имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$%
При $%p<-\frac{1}{2\sqrt2}, 0<t_1<\sqrt2, t_2<-\sqrt2, $%, второе уравнение не имеет решений , а первое имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$%
А при $%-\frac{1}{2\sqrt2}\le p \le\frac{1}{2\sqrt2},(p \ne 0) 0 < t_1 \le\sqrt2, -\sqrt2\le t_2 <0 , $%, обе уравнения имеют решений , $%\left[\begin{aligned}
x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k\\
x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k
\end{aligned}\right.$% Ответ. Не имеет решений(даже смысла), при $%p=0$%, a при $%p\ne 0 $% $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\le-\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии) $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% и $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%-\frac{1}{2\sqrt2}< p<\frac{1}{2\sqrt2}$%(4 разные серии) $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\ge\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии) $%\pi/4+2\pi k$% и $%\pi/4\pm 2\pi/3+2\pi k $%, при $%p=\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии) $%\pi/4\pm\pi+2\pi k$% и $%\pi/4\pm \pi/3+2\pi k $%, при $%p=-\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии,первые 2 отлычаются на $%2\pi$%) отвечен 17 Фев '13 18:23 ASailyan Я имел ввиду количество серий корней: немного неудачно написал, но ответ все равно неверный.
(17 Фев '13 18:41)
epimkin
Что здесь неверно?
(17 Фев '13 19:04)
ASailyan
Прошу извинения у ASailyan. Эта задача была предложена на Международной математической олимпиаде в 60-70 годах(проводились в соцстранах). Я в ней сам не разбирался, решение ее есть и оно, получается неверное. Они тогда что, не умели задачи с параметрами решать? Сейчас попробую отсканировать и задание и решение и поместить сюда (если получится)
(17 Фев '13 20:02)
epimkin
А как ответ принимается.А то получается я какой-то невежливый(там есть несколько непринятых вопросов)
(17 Фев '13 20:41)
epimkin
Все правильно. Соответствует графика(см. внизу).
(17 Фев '13 23:07)
ASailyan
|
Если речь идёт о количестве решений на всей прямой, то оно будет бесконечно из-за периодичности функций -- при условии, что решения для данного значения параметра вообще есть. Функция $$f(x)=\frac1{\sin x}+\frac1{\cos x}$$ уже на интервале $%(\pi/2,\pi)$% принимает все вещественные значения. Это следует из того, что если $%x$% приближается справа к $%\pi/2$%, то первое слагаемое стремится к $%1$%, а второе -- к $%-\infty$%. Аналогично, если если $%x$% приближается слева к $%\pi$%, то первое слагаемое стремится к $%+\infty$%, а второе -- к $%-1$%. Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения из $%(-\infty,\infty)$%. Поэтому все $%p\ne0$% подходят, как и было сказано. отвечен 17 Фев '13 18:48 falcao |
Нужно исследовать функцию $%y=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}:$% 1) Найти период. 2) Промежутки монотонности. 3) Вертикальные асимптоты. 4) Экстремумы функции. График имеет вид
После этого количество серий решений (в зависимости от параметра) определить несложно. отвечен 17 Фев '13 19:54 Anatoliy |
Утверждение на рис. 3 о том, что оба корня $%z_1$% и $%z_2$% обязаны быть по модулю не больше, чем 1, неверно: достаточно, чтобы хотя бы один из них удовлетворял этому условию, а это имеет место при любых р, и достаточно исключить только р = 0. отвечен 17 Фев '13 20:38 splen Да, я уже сам решил это квадратное уравнение с параметром. Книжка вроде серьезная, правда старая
(17 Фев '13 20:40)
epimkin
|
отвечен 17 Фев '13 20:17 epimkin Загрузилось только так
(17 Фев '13 20:22)
epimkin
Там ошибка в решении -- см. последнюю ссылку. Когда рассматриваются корни квадратного уравнения, то для существования решения достаточно, чтобы выполнялось условие $%z_1\le1$% ИЛИ $%z_2\ge-1$%. Совершенно не нужно, чтобы то и другое было одновременно. Поэтому нужно брать объединение, а не пересечение промежутков. Получается вся числовая прямая за исключением $%p=0$%. Задача эта не предлагалась на ММО -- она там идёт как из "запасника" жюри. Но всё равно странно, что в книгу проникла ошибка. Решение, конечно, там невероятно усложнённое -- то же самое делается почти без вычислений.
(17 Фев '13 20:41)
falcao
Вот интересно, задача такой сложности предлагалась (или хотела предложиться) на ММО в 60-70 годах, а сейчас на ЕГЭ, по - моему предлагаются более сложные. Выпускники и абитуриенты стали умнее, их стали приравнивать к участникам тех олимпиад? Или еще что?
(17 Фев '13 21:21)
epimkin
Ну, задача С6 точно олимпиада. Да и С5 трудная. А вообще-то наблюдение верное: те старые задачи теперь предлагают при подготовке к областной олимпиаде, а отнюдь не международной. Как говорится, мы стоим на плечах гигантов.
(17 Фев '13 21:54)
DocentI
1
Лет еще через 50 С6, наверное будет задача "Доказать гипотезу Пуанкаре или что-то типа этого
(17 Фев '13 22:07)
epimkin
Как принять ответ? Процедура ?
(18 Фев '13 1:48)
epimkin
В исследовании серий решений тоже есть ошибка. А что касается принимания ответа. Если вы хотите принять какой-то ответ, то нажимайте на галочку в верхнем левом углу ( она зеленеет). У Вас уже 4 не принятых ответов.Последный приняли в ноябре.Видно забыли как это делается.
(18 Фев '13 2:13)
ASailyan
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Чтобы немного развлечь форумчан