Уравнение с параметром

Имеет бесконечное число решений при всех $%p\ne0.$% Решить можно подстановкой $%sinx+cosx=t\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}$%

При $%p\ne0$%, уравнение примет вид $%t^2-2pt+1=0\Leftrightarrow t=p\pm\sqrt{p^2+1}, $% $%t_1=p+\sqrt{p^2+1}, t_2=p-\sqrt{p^2+1}.$%

Заметим что $%t_1\ge0, t_2\le0, t_1 \cdot t_2=-1 $%

получаем совокупность $%\left[\begin{aligned} sinx+cosx=t_1\\ sinx+cosx=t_2 \end{aligned}\right. $% Следует иметь ввиду, что уравнение $%sinx+cosx=t$% не имеет решений при $%|t|> \sqrt2,$% а при $%|t|\le \sqrt2, x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z)$%

И так при $%p>\frac{1}{2\sqrt2}, t_1>\sqrt2, 0>t_2>-\sqrt2, $%, первое уравнение совокупности не имеет решений , а второе имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$% При $%p<-\frac{1}{2\sqrt2}, 0<t_1<\sqrt2, t_2<-\sqrt2, $%, второе уравнение не имеет решений , а первое имеет - $%x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k (k\in Z).$% А при $%-\frac{1}{2\sqrt2}\le p \le\frac{1}{2\sqrt2},(p \ne 0) 0 < t_1 \le\sqrt2, -\sqrt2\le t_2 <0 , $%, обе уравнения имеют решений , $%\left[\begin{aligned} x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_1}{\sqrt2}+2\pi k\\ x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{t_2}{\sqrt2}+2\pi k \end{aligned}\right.$%

Ответ. Не имеет решений(даже смысла), при $%p=0$%, a при $%p\ne 0 $%

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\le-\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии)

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p+\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% и $%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%-\frac{1}{2\sqrt2}< p<\frac{1}{2\sqrt2}$%(4 разные серии)

$%\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{p-\sqrt{p^2+1}}{\sqrt2}+2\pi k,$% при $%p\ge\frac{1}{2\sqrt2}$% (2 разные серии)

$%\pi/4+2\pi k$% и $%\pi/4\pm 2\pi/3+2\pi k $%, при $%p=\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии)

$%\pi/4\pm\pi+2\pi k$% и $%\pi/4\pm \pi/3+2\pi k $%, при $%p=-\frac{1}{2\sqrt2}$% (3 серии,первые 2 отлычаются на $%2\pi$%)