В часы заката на бульваре Мирдамад Таня записала на доске числа 0 и 1. Раз в минуту она выписывает на доску наименьшее натуральное число, которое не составляет ни с какими двумя уже написанными арифметическую прогрессию и не было выписано ранее. Доказать, что число 2017 не будет написано на доске.

задан 1 Окт '17 17:22

изменен 1 Окт '17 17:23

10|600 символов нужно символов осталось
2

Докажем, что выписаны будут те и только те числа, троичная запись которых не содержит цифры 2. Для начала возьмём все такие числа. Их сложение происходит поразрядно. Если при сложении двух из них получится удвоенное третье, то запись последнего состоит из нулей и двоек. А это может получиться только при сложении нулей с нулями и единиц с единицами, то есть складывались одинаковые числа. Из сказанного следует, что арифметических прогрессий длины 3 из указанных чисел не возникает.

Покажем, что никакое число с двойкой в троичной записи выписано быть не могло. Если оно появилось впервые, то ранее были выписаны все меньшие числа из набора указанных. Рассмотрим число, у которого на месте двоек появившегося числа стоят нули, а все остальные цифры те же. Это число меньше, и оно выписано. Тогда у полусуммы будут только нули и единицы, то есть оно выписано, и получается арифметическая прогрессия.

Осталось заметить, что 2017 больше 2*3^6 и меньше 3^7, поэтому его троичная запись начинается с цифры 2.

ссылка

отвечен 1 Окт '17 18:38

@falcao, большое спасибо!

(1 Окт '17 23:54) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,336
×1,105
×304
×149
×127

задан
1 Окт '17 17:22

показан
380 раз

обновлен
1 Окт '17 23:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru