|
Найти область ходимости функционального ряда: Сумма по n (от n=0 до бесконечности) от выражения cos(nx)/(e^(nx)). Пытался считать на основании признака Даламбера, пришел к выражению: (1/(e^x))lim(n->бескон.)((cos(n+1)x)/(cosnx)); Также пытался решать на основании радикального признака Коши, получил выражение: (1/(e^x))lim(n->бескон.)((cosnx)^(1/n))_. В обоих случаях у нас есть _cosnx, для которого предел при стремлении n->бескон. не существует. Не могу понять, что делать в этом случае: Во-первых, если предела не существует, то что можно сказать об области сходимости данного функционального ряда. Во-вторых, если предположить, что x=0, то при решении предела и подстановке n->бескон. под знак косинуса получим неопределенность cos(бескон.0)_. Или же нужно изначально умножить (не подставляя n->бескон.) n0, тогда под знаком косинуса будет просто 0, то есть _cos(0)=1. В-третьих, если же подставлять для разных признаков одинаковые значения x (произвольные), то калькулятор выдает разные точки сходимости. Не понимаю, почему так происходит, и каково же верное решение. задан 1 Окт '17 19:13 
Men007 |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
1 Окт '17 19:13
показан
672 раза
обновлен
2 Окт '17 0:11
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Нужно иметь в виду, что в признаке Коши фигурирует не предел, а верхний предел из модуля. Но здесь вообще-то лучшем рассуждать по-другому. Если x > 0, то ряд сходится по признаку сравнения (модуль косинуса мажорируем единицей). При x=0 всё очевидно. Если x=-y < 0, то получается cos(ny)e^{ny}. Здесь не будет стремления n-го члена к нулю, потому что значения косинуса будут для бесконечного числа членов больше некоторой положительной константы.
Я предполагаю, что решение таково: Для некоторой области D принадлежащей R выполняется соотношение |cos(nx)/e^(nx)|<=1/e^(nx). Значит, ряд с общим членом cos(nx)/e^(nx) является мажорируемым. Ряд, общий член которого равен 1/e^(nx), по признаку Даламбера сходится при x>0. Следовательно, наш ряд также сходится при x>0. Проверим точку x=0: В точке x=0 (согласно необходимому признаку сходимости числовых рядов) ряд расходится. Таким образом, область сходимости нашего ряда равна x>0.
@Men007: это всё так, но надо доказывать расходимость при x < 0. Это техническая вещь, но она тоже нужна.
Как это возможно сделать? Я думал, что раз мы доказали сходимость ряда при x>0, то другого развития событий быть не может и объяснений для этого не нужно.
@Men007: а вдруг мы рассмотрели не все точки, где ряд сходится?
У меня выше написано, что надо делать при x < 0. Там надо доказать, что cos(ny)e^{ny} не стремится к нулю, если y > 0. Один из способов -- рассмотреть cos((n+1)y)e^{(n+1)y}, что также стремится к нулю (от противного), и что можно расписать по формулам. Тогда получится противоречие, так как sin(ny)e^{ny} одновременно к нулю уже не будет стремиться. Этот момент здесь как раз самый технически сложный -- остальное тривиально.