1
1

f принадлежит C ^{1} [a;b], g-кусочно постоянна,то Var(f+g)=Var f+ Var g на [a;b]

задан 2 Окт '17 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Неравенство <= верно всегда. Оно сразу следует из определения.

Заметим, что у функции класса C^1, модуль производной непрерывен, и достигает на отрезке наибольшего значения K. Тогда по теореме Лагранжа о конечных приращениях, |f(x)-f(y)| < K|x-y|, то есть функция удовлетворяет условию Липшица. Для такого случая всё и будем доказывать, получая более сильное утверждение.

Пусть eps > 0. Достаточно предъявить такое разбиение отрезка, на котором сумма модулей разностей значений функции (далее СМРЗФ :)) f+g в соседних точках разбиения, превзойдёт Var f + Var g - eps. Заметим, что при измельчении разбиения его СМРЗФ может только увеличиться. Но оно всё равно не превзойдёт Var f + Var g, и может стать лишь ближе к этому значению, что нас устраивает.

Для f выберем разбиение, у которого СМРЗФ близко к Var f на величину < eps/2. Если две соседние точки разбиения принадлежат участку постоянства функции g, то для f и для f+g разности значений в этих точках будут одинаковы. Далее, ясно, что Var g равно сумме конечного числа "скачков", где под "скачком" в точке разрыва понимается модуль разности односторонних пределов при стремлении аргумента к этой точке. Пусть k -- точек разрыва. Мы хотим дополнить исходное разбиение, добавив к нему 2k точек, окружая точку разрыва слева и справа на малом расстоянии < delta, где значение delta ниже будет уточнено. Такие вставки будут делаться между соседними точками разбиения для f, что приведёт к его измельчению.

Для функции g, сумма модулей разностей значений в добавленных точках будет равна Var g. Но мы сравниваем ту же сумму для функции f+g, которая складывается из двух частей: предыдущей суммы, а также "потерь", которые может дать слагаемое f. То есть наша величина может уменьшиться на чуть-чуть. Оценим последнее.

Для каждой из k точек разрыва, мы можем потерять не более |f(x)-f(y)|, где x и y окружают точку разрыва. Оценка сверху составит K|x-y| < 2K delta. Вместе для всех k точек "потери" составят менее 2Kk delta, а мы хотим, чтобы это было меньше eps/2, что приводит к неравенству delta < eps/(4Kk). Теперь после добавления новых точек к разбиению, мы имеем СМРЗФ больше чем Var f + Var g - eps, что и требовалось.

ссылка

отвечен 3 Окт '17 2:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
2 Окт '17 21:35

показан
288 раз

обновлен
3 Окт '17 2:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru