Найти норму на l1 alt text

alt text

как это сделать через эту теорему?

задан 2 Окт '17 21:48

@queuet: если в формулировке теоремы дано условие 1 < p, то к случаю эль-1 (когда p=1) её формально не применить. Не говоря о том, что в начале говорится про эль-1 (эль малое; я не хочу печатать эту букву в виде "палки"), пространстсво последовательностей, а в теореме говорится про L_1 большое, пространство функций. Наверное, какой-то похожий аппарат подойдёт, но не такой.

(2 Окт '17 22:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Попробуем лучше решить вручную. Если $%x_n$% из $%l_1$%, то для любой ограниченной последовательности $%a_n$% ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx_n$% будет сходиться, задавая линейный функционал на $%l_1$%. Его норма должна быть равна $%\sup\limits_n|a_n|$% -- это аналог того факта, который Вы процитировали. "Дополнительным" к значению $%p=1$% является $%q=\infty$%, и поэтому надо брать последовательности (но не функции) с нормой для $%l_q$%, а это и есть супремум.

В данном случае последовательность $%a_n=\frac{n^2+5}{n^3-5}$% достигает по модулю максимального значения в точке $%n=2$%: получается число $%3$%. Для $%n=1$% модуль равен $%3/2$%, а для прочих значений верно неравенство $%n^2+5 < 3(n^3-5)$%, что без труда проверяется.

Теперь ясно, что если $%\|x\|=1$%, а это сумма ряда из $%|x_n|$%, то $%|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx_n|\le3$% ввиду неравенств $%|a_n|\le3$%. Значит, норма функционала не больше $%3$%. Очевидно также, что значение $%3$% достигается на векторе $%(0,1,0,0,...)\in l_1$%.

ссылка

отвечен 2 Окт '17 23:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
2 Окт '17 21:48

показан
654 раза

обновлен
2 Окт '17 23:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru