Здравствуйте. Просьба объяснить доказательство следующего свойства: $$\lim_{n\to\infty}(x_ny_n) = \lim_{n\to\infty}(x_n) \lim_{n\to\infty}(y_n)$$ Много перечитал в учебниках, в интернете, но по-прежнему не совсем понятно. Опишите, пожалуйста, каждый шаг подробно, если можно :)

задан 2 Окт '17 22:48

@MQL: точная формулировка такая: если x_n->a, y_n->b (то есть оба предела существуют), то x_ny_n сходится к ab. Сначала доказывается лемма, что сходящаяся последовательность ограничена. Константу можно считать общей, считая, что |x_n|,|y_n|<=C при всех n.

Доказать надо то, что при больших n число x_ny_n близко к ab. Разность запишем как x_ny_n-a_y_n+ay_n-ab=(x_n-a)y_n+a(y_n-b). Дальше ставим модули и производим оценки, как в учебнике. Смысл в том, что |x_n-a| и |y_n-b| малы при больших n, а множители |y_n| и |a| ограничены.

Если что-то ещё непонятно -- уточняйте конкретно.

(2 Окт '17 23:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×693
×298
×260

задан
2 Окт '17 22:48

показан
246 раз

обновлен
2 Окт '17 23:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru