Указать хотя б один прямоугольний треугольник АВС из целочисленними сторонами, на одной из средних линий которого можна указать такую точку М, что длини отрезков МА, МВ, МС являются целими.

задан 3 Окт '17 0:10

Середина гипотенузы лежит аж на двух средних линиях. И все три отрезка являются половиной длины гипотенузы. Так что годится любой пифагоров треугольник с четной гипотенузой. Например, (6,8,10)

(3 Окт '17 0:33) knop
1

Задача с действующего соревнования - XX Всеукраинский турнир. Подождите до ноября 2017 года.

(Точка $%М$% внутри треугольника).

(3 Окт '17 0:33) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я помню задачи прошлых лет с этого соревнования (если оно то же самое). Как правило, там было что-то достаточно нетривиальное, требующее размышлений. Но эта задача про прямоугольный треугольник какая-то совсем простая, для мгновенного устного решения. Как так может быть?

(3 Окт '17 0:51) falcao

@falcao, замечание от @EdwardTurJ, что (Точка М внутри треугольника) усложняет задачу... или мне кажется?...

(3 Окт '17 2:55) all_exist

@all_exist: да, такое ограничение сразу делает задачу интересной.

(3 Окт '17 3:44) falcao

@EdwardTurJ, где можно посмотреть задачи XX Всеукраинского турнира?

(3 Окт '17 11:51) Sergic Primazon

Я недавно находил и клал в фейсбук. Но сейчас снова не нашел. Поэтому только моя ссылка. https://www.facebook.com/download/preview/269205770258799

(3 Окт '17 13:24) knop
2

@GAL03: Почему Вы написали: "На одной из средних линий"?

(3 Окт '17 13:48) Роман83

Таково условие

(3 Окт '17 15:03) GAL03

@GAL03: в условии сказано "всередині", то есть внутри треугольника. О средних линиях там ничего нет.

(3 Окт '17 16:34) falcao

решение кстати совсем нетривиальное

(4 Окт '17 0:57) sliy
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай $%AC=4m^2-n^2, BC=4mn$%, расстояние от точки $%M$% до $%AC$% равно $%2mn$% и расстояние от точки $%M$% до $%BC$% равно $%m^2-n^2$%, где $%m>n$% - натуральные(см. рисунок ниже).

Тогда 5 отрезков - целые числа. Отрезок $%AM$% также будет целым, если $%(3m)^2+(2n)^2$% - полный квадрат. Достаточно в тождестве $%(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$% выбрать натуральные числа $%x>y$% так, чтобы $%x^2-y^2$% было кратным трём. Получаем бесконечные серии таких треугольников.

ссылка

отвечен 3 Ноя '17 21:42

изменен 4 Ноя '17 0:20

Что еще к этой задаче можно сделать? Я имею иллюстрацию какую-нибудь или же таблицу с значениями первых треугольников?

(9 Дек '17 21:56) goldish09

@goldish09: Рассмотреть непрямоугольные треугольники.

(10 Дек '17 3:01) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

$$BC=1050; AC=560; AB=1190$$ Внутри прямоугольного треугольника возьмем точку $%M$% такую, что $%\angle BCM=\arccos \frac 45$% и $%CM=48$%.

Тогда $$AM=848; BM=666.$$

ссылка

отвечен 8 Окт '17 13:57

@goldish09, до ноября не дотерпели?... )))

(8 Окт '17 16:36) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,918

задан
3 Окт '17 0:10

показан
492 раза

обновлен
10 Дек '17 3:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru