Пытаюсь решить такие задачи.

1) Сколько инъективных гомоморфизмов групп из S3 в S5 можно построить? 2) Сколько гомоморфизмов групп из <g>_15 в <h>_42 можно построить?

Мысли: 1) Не знаю как подступиться. 2) Обычно, используется формула НОД (42, 15), но это слишком абстрактно. Откуда взялась формула и как по-другому найти количество? И ещё не совсем понятно как их перечислить: у нас их 3 штуки, один очевиден - берём Kerf=<g^3>_5 c 5 элементами - всё это идёт в нейтральный элемент Imf=<h^14>_3. Остальные смежные классы помимо Kerf идут в другие 2 элемента образа - h^14 и h^28. Но это лишь один вариант гомоморфизма, а как построить другие?

задан 4 Окт '17 14:05

изменен 4 Окт '17 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
0

2) Эта задача совершенно стандартна. Она тут излагалась и в общем виде, и для частных случаев. При гомоморфизме мы g переводим в h^k, где 0<=k < 42. Это однозначно определяет гомоморфизм циклических групп, но существует он не всегда, а в том случае, если g^{15}=e переходит в нейтральный элемент. Это значит, что h^{15k}=e, а последнее имеет место, когда 15k делится на 42. Сокращаем на 3=НОД(15,42), откуда 5k делится на 14, то есть k делится на 14. Таких значений k в означенных пределах будет ровно 42/14=3, то есть количество равно тому числу, на которое сокращали, а это НОД.

То есть g мы переводим либо в e (и тогда гомоморфизм единичен), либо в h^{14}, либо в h^{28}. Они все разные. В Вашем случае два неединичных смежных класса по ядру либо тоже переходят в единицу, либо переходят в h^{14} и h^{28}=h^{-14} одним из двух равноправных способов.

2) Здесь чуть-чуть посложнее. Группа S3 порождается элементами (123) и (12). При вложении (то есть при инъективном гомоморфизме) порядки элементов сохраняются. Тогда (123) переходит в тройной цикл (abc) группы S5. Таковых имеется 20. Элемент (12) переходит или в транспозицию (10 вариантов), или в произведение двух независимых транспозиций (15 вариантов).

Однако не все из указанных вариантов годятся, потому что произведение (123) и (12) есть транспозиция, и этот элемент в квадрате должен быть равен единице. Поэтому можно вспомнить, или проверить вручную, что группа S3 задаётся таким списком определяющих соотношений: x^3=e, y^2=e, (xy)^2=e. Учёт этих равенств позволяет однозначно восстановить таблицу умножения группы, поэтому больше ничего учитывать не надо. Последнее соотношение можно записать также в виде y^{-1}xy=x^{-1}, то есть при сопряжении элементом y, элемент x=(abc) должен переходить в обратный.

Теперь надо вспомнить правило сопряжения в симметрических группах. Если какой-то элемент x записан в виде произведения независимых циклов, то запись для сопряжённого элемента y^{-1}xy получается заменой символов: каждый символ i заменяется на его образ при y.

Элемент x^{-1}, которой при такой замене должен получиться, можно записать в трёх различных формах: (acb)=(cba)=(bac). Поэтому нам подходят подстановки следующих трёх видов: a->a,b->c,c->b; a->c,b->b,c->a; a->b,b->a,c->c. Видно, что один символ всегда неподвижен, а два других меняются местами. Для первого плана в качестве сопрягающего элемента (образа транспозиции) подходят два элемента порядка 2 -- это транспозиция (bc), а также произведение двух транспозиций (bc)(de), где d, e -- два символа из пяти, не входящие в запись тройного цикла.

Итого мы на каждый из трёх вариантов имеем по две возможности, а это значит, что для тройного цикла x=(abc) нам годится 6 вариантов выбора элемента y второго порядка. Циклов 20, и гомоморфизмов описанного вида из S3 в S5 при этом получается 120. Все они инъективны, так как образ S3 получается неабелевым за счёт того, что xy не равно yx. Последнее происходит по причине того, что x^{-1}=y^{-1}xy не равно x, так как x есть тройной цикл.

ссылка

отвечен 4 Окт '17 15:58

"Группа S3 порождается элементами (123) и (12)." Не понятен этот момент. Не могут же быть одновременно 2 порождающих? Либо один, либо другой. Понятно, что фи(порядок группы) - количество порождающих в циклической, но по определению один элемент должен породить все, т.е. другой элемент помощником не нужен.

(4 Окт '17 23:02) nimba4

@nimba4: группа S3 неабелева. В частности, она не циклическая. Поэтому она не может порождаться одним элементом! А порождающих у группы может быть сколько угодно -- даже если она абелева. Например, группа Z2+...+Z2 (n раз) не порождается менее чем n элементами.

(5 Окт '17 0:26) falcao

@falcao: спасибо, а как мы 20 нашли в "Тогда (123) переходит в тройной цикл (abc) группы S5. Таковых имеется 20" ? Я так понял, речь шла о количестве тройных циклов в S5. Не могу подобрать формулу к циклам (сочетания без повторений, допустим, 5 по 3 слишком мало, а 5*4*3 слишком много), (123) ведь = (231) и т.д., т.е. порядок не применить, но в тоже время (123)!=(132).

(5 Окт '17 15:56) nimba4

@nimba4: тут простая комбинаторика. Упорядоченных троек вида (a,b,c) имеется 5x4x3=60. При этом (abc)=(bca)=(cab), и каждому циклу соответствуют 3 таких тройки ввиду неоднозначности способа записи. Поэтому 60 делим на 3 и получаем 20.

(5 Окт '17 16:07) falcao

@falcao Благодарю. Ещё есть не понятный переход: "Элемент x^{-1}, которой при такой замене должен получиться, можно записать в трёх различных формах: (acb)=(cba)=(bac).Поэтому нам подходят подстановки следующих трёх видов: a->a,b->c,c->b; a->c,b->b,c->a; a->b,b->a,c->c. " Здесь мы в (abc) каждый элемент делаем стационарной точкой, но как связать это с тем, что мы нашли x^-1=(acb)=(cba)=(bac)? Слишком абстрактно накладывается (acb) на (abc) из чего у нас a-a, b-c, c-b и т.д. Мы цикл abc сделали аргументами подстановки, а записи обратной подстановки - образами этих аргументов - масло масляное.

(6 Окт '17 15:25) nimba4

@nimba4: если x=(abc), то x^{-1}=(acb) по очевидной причине: произведение тройных циклов (abc) и (acb) равно тождественной подстановке e. Здесь суть в том, что мы хотим найти подстановки y, при сопряжении которыми x перейдёт в x^{-1}. Основой служит лемма, что при сопряжении элементом y, цикл (abc) переходит в цикл (y(a),y(b),y(c)). Для того, чтобы такой цикл был равен (acb), необходимо и достаточно, чтобы символы y(a),y(b),y(c) давали циклическую перестановку символов a,c,b, что возможно в трёх перечисленных в решении случаев.

(6 Окт '17 16:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×344
×67

задан
4 Окт '17 14:05

показан
273 раза

обновлен
6 Окт '17 16:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru