Доказать, что если $%a,b,c,e-$% положительные числа и $%a^4+b^4+c^4+e^4=4abce$%, то $%a=b=c=e$%

задан 4 Окт '17 19:47

10|600 символов нужно символов осталось
0

Во всех неравенствах этого типа обычно доказывают две вещи. Первая: что левая часть не меньше правой. Вторая: что равенство имеет место тогда и только тогда, когда числа равны между собой. В принципе, на этот факт можно было бы сослаться как на известный. Однако здесь можно повторить доказательство, заодно осознавая причину того, почему это так.

Очевидное неравенство (x-y)^2>=0, верное для любых чисел, равносильно x^2+y^2>=2xy. Ясно, что равенство имеет место только при x=y.

Я обозначу последнее число через d, чтобы буквы шли по алфавиту. Зачем выбрали букву e, которая вдобавок похожа на c, для меня является загадкой.

Прежде всего, a^4+b^4>=2a^2b^2. Равенство имеет место при a^2=b^2. Для положительных чисел это значит a=b. Далее, c^4+d^4>=2c^2d^2; равенство при c=d. Сложим эти неравенства, откуда левая часть >=2((ab)^2+(cd)^2)>=4abcd, с равенством при ab=cd. Мы получили, что 4abcd=a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd, и тогда все использованные нами неравенства становятся равенствами. Из последнего мы имеем a^2=c^2 (так как уже знаем, что b=a, d=c), и теперь a=c, что даёт равенство всех четырёх чисел.

ссылка

отвечен 4 Окт '17 20:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
4 Окт '17 19:47

показан
293 раза

обновлен
4 Окт '17 20:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru